Question

7．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果將該矩形沿對角線BD重疊．
（1）求證：△ABE≌△C₁DE；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可知∠A=∠C₁，AB=C₁D，依據(jù)AAS可證明△ABE≌△C₁DE；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可知：BE=ED，設(shè)DE=BE=x，則AE=4-x，在Rt△AEB中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程求解即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=DC，∠A=∠C=90°．
由翻折的性質(zhì)可知：∠C₁=∠C，C₁D=DC．
∴∠A=∠C₁，AB=C₁D．
在△ABE和△C₁DE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠{C}_{1}}\\{∠AEB=∠{C}_{1}ED}\\{AB={C}_{1}D}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△C₁DE．
（2）∵△ABE≌△C₁DE，
∴BE=ED．
設(shè)DE=BE=x，則AE=4-x．
在Rt△AEB中，由勾股定理可知：BE²=AB²+AE²，即x²=3²+（4-x）²，解得：x=$\frac{25}{8}$
S_△EDB=$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}×$3×$\frac{25}{8}$=$\frac{75}{16}$．

點評 本題主要考查的翻折的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，在Rt△AEB中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．