Question

如圖，將線段AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得AC，連接BC，作△ABC的外接圓⊙O，點(diǎn)P為劣弧上的一個動點(diǎn)，弦AB、CP相交于點(diǎn)D．
（1）求∠APB的大小；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時，PD⊥AB？并求此時CD：CP的值；
（3）在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，比較PC與AP+PB的大小關(guān)系，并對結(jié)論給予證明．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵∠APB+∠ACB=180°，
∴∠APB=120°；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到的中點(diǎn)時，PD⊥AB，
如圖1，連接PC，OA，OB，設(shè)⊙O的半徑為r，則CP=2r，
又∵⊙O為等邊△ABC的外接圓，
∴∠OAB=30°，
在Rt△OAD中，
∵OD=OA=，
∴CD=+r=，
∴CD：CP=：2r=3：4；

（3）PC=AP+PB

證明：方法一：
如圖2，在AP的延長線上取點(diǎn)Q，使PQ=PB，連接BQ，
∵∠APB=120°，
∴∠BPQ=60°，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴PB=BQ，
∵∠CBP=∠CBA+∠ABP=60°+∠ABP，
∠ABQ=∠QBP+∠ABP=60°+∠ABP，
∴∠ABQ=∠CBP，
在△ABQ和△CBP中，PB=QB，∠CBP=∠ABQ，CB=AB，
∴△ABQ≌△CBP，
∴CP=AQ=AP+PQ=AP+PB，即PC=AP+PB；
方法二：如圖3，B為圓心，BP為半徑畫圓交CP于點(diǎn)M，連接BM，
∵∠CPB=60°，
∴△PBM是等邊三角形，
∵∠CMB=120°，
∴∠CMB=∠APB，
∴△APB≌△CMB，
∴PC=AP+PB；
方法三：（略證）如圖4，以A為圓心，A為半徑畫圓交CP于N，連接AN，
先證△APN是等邊三角形，再證△ANC≌△APB，
從而PC=AP+PB．
分析：（1）先根據(jù)題意判斷出△ABC是等邊三角形，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)可知∠APB+∠ACB=180°，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）連接PC，OA，OB，設(shè)⊙O的半徑為r，則CP=2r，根據(jù)⊙O為等邊△ABC的外接圓可求出∠OAB=30°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可用r表示出OD，CD的值，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）在AP的延長線上取點(diǎn)Q，使PQ=PB，連接BQ，可判斷出△BPQ是等邊三角形，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CBP，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查的是三角形的外接圓與外心，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，重點(diǎn)是理解外心的定義，此題難度較大．