【題目】如圖:AD與⊙O相切于點(diǎn)D,AF經(jīng)過圓心與圓交于點(diǎn)E、F,連接DE、DF,且EF=6,AD=4.

(1)證明:AD2=AEAF;

(2)延長AD到點(diǎn)B,使DB=AD,直徑EF上有一動(dòng)點(diǎn)C,連接CB交DF于點(diǎn)G,連接EG,設(shè)∠ACB=α,BG=x,EG=y.

①當(dāng)α=900時(shí),探索EG與BD的大小關(guān)系?并說明理由;

②當(dāng)α=1200時(shí),求y與x的關(guān)系式,并用x的代數(shù)式表示y.

【答案】(1)證明見解析;(2)①當(dāng)α=90°時(shí),EG>BD,理由見解析;②當(dāng)α=120°時(shí),y=

【解析】試題分析:(1)連接OD,由AD是⊙O的切線,根據(jù)切線的性質(zhì)可得ODAD,即∠ADE+EDO=90°,再由EF是直徑,根據(jù)圓周角定理的推論可得∠EDF=90°,即∠EDO+ODF=90°,即可得∠ADE=ODF,再由OD=OF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ODF=OFD,所以∠ADE=OFD,即可判定ADE∽△AFD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得 ,即AD2=AEAF;(2①當(dāng)α=90°時(shí),EGBD,理由如下:取EG的中點(diǎn)H,連接CH、DHCD,在RtEDG、RtECG中,點(diǎn)HEG的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得CH=EH=GH=DH= EG,根據(jù)圓的定義即可判定點(diǎn)C、ED、G在以點(diǎn)H為圓心,EG為直徑的圓上,根據(jù)直徑是圓中最長的弦可得EGCD,在RtABC中,DB=AD,再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得CD= DB=AD=AB,即可得結(jié)論EGBD;②當(dāng)α=120°時(shí),將ADE繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°,得到BDP,連接GP,由(1AD2=AEAF可得16=AE(AE+6),解得AE=2AE=8(舍去),因ADE≌△BDP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得ED=DP,AE=BP=2,A=DBP,再由∠EDF=90°可得DG垂直平分EP,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得GE=GP=y,因∠A+ABC=180°120°=60°所以∠DBP+ABC=60°,即∠GBP=60°;過點(diǎn)PPQBG,RtBPQ中,∠GBP=60°,BP=2,可求得BQ=1,PQ= ,所以GQ=BGBQ=x1,RtGPQ, PQ=GQ=x1,GP=y,由勾股定理可得PG2=GQ2+PQ2y2=(x-1) 2+( ) 2 ,整理即可得y= .

試題解析:

1證明:連接OD

AD是⊙O的切線

ODAD,即∠ADE+EDO=90°

EF是直徑

∴∠EDF=90°,即∠EDO+ODF=90°

∴∠ADE=ODF

OD=OF

∴∠ODF=OFD

∴∠ADE=OFD

∴△ADE∽△AFD

,即

2①當(dāng)時(shí),EGBD

理由如下:取EG的中點(diǎn)H,連接CH、DH、CD,

RtEDGRtECG,點(diǎn)HEG的中點(diǎn)

CH=EH=GH=DH=

∴點(diǎn)C、E、D、G在以點(diǎn)H為圓心,EG為直徑的圓上

EGCD

RtABC, DB=AD

CD= DB=AD=

EGBD

②當(dāng)時(shí)

ADE繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°,得到BDP,連接GP

由(1得: ,解得AE=2AE=8(舍去)

∴△ADE≌△BDP

ED=DPAE=BP=2,A=DBP

∵∠EDF=90°

DG垂直平分EP

GE=GP=

∵∠A+ABC=180°120°=60°

∴∠DBP+ABC=60°,即∠GBP=60°

過點(diǎn)PPQBG

RtBPQ中,∠GBP=60°,BP=2

BQ=1,PQ=

GQ=BGBQ= 1

RtGPQ, PQ=,GQ= 1,GP=

練習(xí)冊系列答案
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1)求直線AB的解析式;

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(1)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)C、A、A,求此拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)M時(shí)第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),問:當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí),AMA的面積最大?最大面積是多少?并求出此時(shí)M的坐標(biāo);

(3)若P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),Nx軸上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1,0),當(dāng)P、NB、Q構(gòu)成平行四邊形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo),當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).

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A.21B.(﹣2,1C.1,1D.4,﹣2

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(1)甲、乙兩地之間的距離為_______km;

(2)請解釋圖中點(diǎn)B的實(shí)際意義;

(3)求慢車和快車的速度;

(4)求線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;

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作出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△A1B1C1;

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恒成立的結(jié)論有 .(把你認(rèn)為正確的序號都填上)

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