Question

(本小題10分)已知拋物線：．點F(1，1)．
(Ⅰ) 求拋物線的頂點坐標；
(Ⅱ)
①若拋物線與y軸的交點為A．連接AF，并延長交拋物線于點B，求證：
②拋物線上任意一點P（）)（）．連接PF．并延長交拋物線于點Q（），試判斷是否成立？請說明理由；
(Ⅲ) 將拋物線作適當(dāng)?shù)钠揭疲�得拋物線：，若時．
恒成立，求m的最大值．

Answer 1

解 (I)∵，
∴拋物線的頂點坐標為()．
(II)①根據(jù)題意，可得點A(0，1)，
∵F(1，1)．
∴AB∥x軸．得AF=BF=1，

②成立．
理由如下：

如圖，過點P（）作PM⊥AB于點M，則FM=，PM=（）
∴Rt△PMF中，有勾股定理，得

又點P（）在拋物線上，
得，即
∴
即．
過點Q（）作QN⊥B，與AB的延長線交于點N，
同理可得．
圖文∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF
有
這里，
∴
即
(Ⅲ) 令，
設(shè)其圖象與拋物線交點的橫坐標為，，且<，
∵拋物線可以看作是拋物線左右平移得到的，

觀察圖象．隨著拋物線向右不斷平移，，的值不斷增大，
∴當(dāng)滿足，．恒成立時，m的最大值在處取得。
可得當(dāng)時．所對應(yīng)的即為m的最大值．
于是，將帶入，
有
解得或（舍）
∴
此時，，得
解得，
∴m的最大值為8解析:
略