Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥CD于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，且

BC

=

CE

．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若tan∠CAB=

3

4

，BC=3，求DE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接OC，由

BC

=

CE

，根據(jù)圓周角定理得∠1=∠2，而∠1=∠OCA，則∠2=∠OCA，則可判斷OC∥AD，由于AD⊥CD，所以O(shè)C⊥CD，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；
（2）連接BE交OC于F，由AB是⊙O的直徑得∠ACB=90°，在Rt△ACB中，根據(jù)正切的定義得AC=4，再利用勾股定理計(jì)算出AB=5，然后證明Rt△ABC∽R(shí)t△ACD，利用相似比先計(jì)算出AD=

16

5

，再計(jì)算出CD=

12

5

；根據(jù)垂徑定理的推論由

BC

=

CE

得OC⊥BE，BF=EF，于是可判斷四邊形DEFC為矩形，所以EF=CD=

12

5

，則BE=2EF=

24

5

，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理計(jì)算出AE=

7

5

，再利用DE=AD-AE求解．

解答：（1）證明：連接OC，如圖，
∵

BC

=

CE

，
∴∠1=∠2，
∵OC=OA，
∴∠1=∠OCA，
∴∠2=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：連接BE交OC于F，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，tan∠CAB=

BC

AC

=

3

4

，
而BC=3，
∴AC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∵∠1=∠2，
∴Rt△ABC∽R(shí)t△ACD，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，即

4

AD

=

5

4

，解得AD=

16

5

，
∵

BC

CD

=

AB

AC

，即

3

CD

=

5

4

，解得CD=

12

5

，
∵

BC

=

CE

，
∴OC⊥BE，BF=EF，
∴四邊形DEFC為矩形，
∴EF=CD=

12

5

，
∴BE=2EF=

24

5

，
∵AB為直徑，
∴∠BEA=90°，
在Rt△ABE中，
AE=

AB2-BE2

=

52-( 24 5 )2

=

7

5

，
∴DE=AD-AE=

16

5

-

7

5

=

9

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．