Question

學習三角形后，九（6）班的王老師給了這樣一個題讓同學們討論：“已知一個三角形的兩邊長分別是6cm和5cm，其中一個內(nèi)角是30°，求這個三角形的面積是多少？”于是得到很多結(jié)果：甲同學認為面積應(yīng)該是

15

2

cm²，乙同學認為面積應(yīng)該是

3(3 3 -4)

2

cm²而丙同學認為面積是

3(3 3 +4)

2

cm²等，你認為他們的說法全面嗎？若你有不同結(jié)論，請你用你所學的數(shù)學知識求出其面積．

Answer 1

分析：分類討論：①30°角的兩鄰邊是6cm和5cm；②30°角的對邊和鄰邊分別是6cm和5cm；③30°角的對邊和鄰邊分別是5cm和6cm；④30°角的兩鄰邊是5cm和6cm．

解答：解：不全面，應(yīng)該有四種情況．
①如圖①所示，
過C作CD⊥BC于D，
在Rt△ACD中，CD=

1

2

AC=

5

2

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

×6cm×

5

2

cm=

15

2

cm²；

②如圖②所示：過點B作BD⊥AC于點D．
在Rt△ABD中，BD=

1

2

AB=

5

2

cm，AD=

5

2

3

cm；
在Rt△BDC中，CD=

119

2

cm（勾股定理），
∴S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

×（

5

2

3

+

119

2

）×

5

2

cm=

5(5 3 + 119 )

8

cm²；

③如圖③所示，過點B作BD⊥AC于點D．
在Rt△ABD中，BD=

1

2

AB=3cm，AD=3

3

cm；
在Rt△BDC中，CD=4cm（勾股定理），
∴S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

×（3

3

+4）×3cm=

3(3 3 +4)

2

cm²；

④如圖④所示：設(shè)CD=xcm，則
在Rt△ACD中，AD=

3

xcm；
在Rt△BCD中，BD=

25-x2

cm，
∴AD+BD=

3

x+

25-x2

=6，
解得，x=

3 3 +4

2

，或x=

3 3 -4

2

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

×（

3 3 +4

2

）×6cm=

3(3 3 +4)

2

cm²；
或S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

×（

3 3 -4

2

）×6cm=

3(3 3 -4)

2

cm²；
綜上所述，該三角形的面積是：

15

2

cm²；

5(5 3 + 119 )

8

cm²；

3(3 3 +4)

2

cm²；

3(3 3 -4)

2

cm²．

點評：本題考查了三角形的面積，三角形中的勾股定理的運用以及含30度角的直角三角形．解答該題需要分類討論．