Question

已知，如圖，AB，CD是半徑為4的⊙O的兩條直徑，CD⊥AB，點P是

AC

上的一個動點，連接BP，交半徑OC于點E，過點P的直線PH與OC延長線交于點H
（1）當PH=EH時，求證：直線PH是⊙O的切線；
（2）當E為OC中點時，求PC的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結OP，如圖，由AB⊥CD得到∠1+∠OEB=90°，再證明∠HPE=∠OEB，加上∠1=∠2，得到∠2+∠HPE=90°，然后根據切線的判定定理即可得到直線PH是⊙O的切線；
（2）如圖，連結BD，先計算出BD=4

2

，再由E為OC中點得到OE=CE=2，接著證明△PCE∽△BDE，然后利用相似比可計算出PC的長．

解答：（1）證明：連結OP，如圖，
∵AB⊥CD，
∴∠1+∠OEB=90°，
∵HP=HE，
∴∠HPE=∠HEP，
而∠HEP=∠OEB，
∴∠1+∠HPE=90°，
∵OB=OP，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠HPE=90°，即∠OPH=90°，
∴OP⊥PH，
∴直線PH是⊙O的切線；
（2）如圖，連結BD，
∵AB⊥CD，OB=OD=4，
∴BD=4

2

，
∵E為OC中點，
∴OE=CE=2，
∴DE=OE+OD=6，
∵∠CPE=∠D，∠PCE=∠EBD，
∴△PCE∽△BDE，
∴

PC

BD

=

CE

DE

，即

PC

4 2

=

2

6

，
∴PC=

4 2

3

．

點評：本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質．