Question

13、如圖，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B，直線CD過A交⊙O₁和⊙O₂于C、D，且AC=AD，EC、ED分別切兩圓于C、D．
求證：AC²=AB•AE．

Answer 1

分析：首先作△BCD的外接圓⊙O₃，證E在⊙O₃上，得△ACE≌△ADF，從而AE=AF，由相交弦定理即得結(jié)論．

解答：證明：作△BCD的外接圓⊙O₃，延長BA交⊙O₃于F，在優(yōu)弧BD上找一點(diǎn)，
連接O₁C，O₁B，BC，O₂B，O₂D，BD，DM，BM，
∵EC、ED分別切兩圓于C、D，
∴∠EDB+∠BDO₂=90°，
∵∠BDO₂=∠DBO₂，
∴∠DBO₂+∠EDB=90°，
又∵∠CAB+∠BAD=180°，∠M+∠BAD=180°，
∴∠M=∠CAB，
∴∠CAB=∠DO₂B，
∴∠ACB=∠DBO₂，
∴∠ECB+∠EDB=180°，
∴∠DEC+∠CBD=180°，
即E．B．D．C四點(diǎn)共圓，可得：
△ACE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴AC×AD=AF×AB，
即 AC²=AB•AE．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了四點(diǎn)共圓以及相交線定理，綜合性較強(qiáng)，特別是輔助線的作法與以往不同，希望能引起同學(xué)們的注意．