Question

如圖，已知長(zhǎng)方形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸，y軸的正半軸上，且點(diǎn)B（4，3），反比例函數(shù)y=

k

x

圖象與BC交于點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)E，其中D（1，3）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若長(zhǎng)方形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)為F，作FG⊥x軸交直線DE于點(diǎn)G．
①請(qǐng)判斷點(diǎn)F是否在此反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，并說明理由；
②求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把已知點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，求出其解析式；
（2）①連接AC，OB交于點(diǎn)F，過F作FH⊥x軸于H．根據(jù)四邊形OABC是矩形和△OFH∽△OBA，求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式進(jìn)行驗(yàn)證．
②求出DE的解析式，將G點(diǎn)橫坐標(biāo)代入，求出縱坐標(biāo)，與F點(diǎn)的縱坐標(biāo)相減即可得到GF的距離．

解答：解：（1）把D（1，3）代入y=

k

x

，得3=

k

1

，
∴k=3．
∴y=

3

x

．
∴當(dāng)x=4時(shí)，y=

3

4

，
∴E（4，

3

4

）．
（2）①點(diǎn)F在反比例函數(shù)的圖象上．
理由如下：
連接AC，OB交于點(diǎn)F，過F作FH⊥x軸于H．
∵四邊形OABC是矩形，
∴OF=FB=

1

2

OB．
又∵∠FHO=∠BAO=90°，∠FOH=∠BOA，
∴△OFH∽△OBA．
∴

OH

OA

=

FH

BA

=

OF

OB

=

1

2

，
∴OH=2，F(xiàn)H=

3

2

．
∴F（2，

3

2

）．
即當(dāng)x=2時(shí)，y=

3

x

=

3

2

，
∴點(diǎn)F在反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象上．
②設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（d，3），E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，e），
將D（d，3）代入y=

3

x

得，

3

d

=3，
解得，d=1，則D（1，3）；
將E（4，e）代入y=

3

x

得，e=

3

4

，
則E（4，

3

4

）；
設(shè)DE解析式為y=kx+b，
將D（1，3），E（4，

3

4

）分別代入解析式得：

k+b=3 4k+b= 3 4

，
解得

k=- 3 4 b= 15 4

，函數(shù)解析式為y=-

3

4

x+

15

4

．
設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（2，g），
代入y=-

3

4

x+

15

4

得：g=

9

4

，
FG=

9

4

-

3

2

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題比較復(fù)雜，把反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象、矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)相結(jié)合，考查了學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．