Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于點(diǎn)G；E、F分別是C′D和BD上的點(diǎn)，線(xiàn)段EF交AD于點(diǎn)H，把△FDE沿EF折疊，使點(diǎn)D落在D′處，點(diǎn)D′恰好與點(diǎn)A重合．

（1）求證：△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）7/24（3）25/6

【解析】（1）證明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，

∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE。

在△ABG≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C，AB= C′D，∠ABG=∠AD C′，

∴△ABG≌△C′DG（ASA）。

（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。

設(shè)AG=x，則GB=8﹣x，

在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8﹣x）2，解得x=。

∴。

（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD。∴HD=AD=4。

∵tan∠ABG=tan∠ADE=。∴EH=HD×=4×。

∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，∴HF是△ABD的中位線(xiàn)。∴HF=AB=×6=3。

∴EF=EH+HF=。

（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出結(jié)論。

（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，設(shè)AG=x，則GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的長(zhǎng)，從而得出tan∠ABG的值。

（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根據(jù)tan∠ABG的值即可得出EH的長(zhǎng)，同理可得HF是△ABD的中位線(xiàn)，故可得出HF的長(zhǎng)，由EF=EH+HF即可得出結(jié)果。