Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（12，0），K（4，0）過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)y=kx-4交y軸于點(diǎn)N．過(guò)K點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)與過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)y=2x+b交于點(diǎn)M．
（1）試判斷△AMN的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）將AN所在的直線(xiàn)l向上平移．平移后的直線(xiàn)l與x軸和y軸分別交于點(diǎn)D、E．當(dāng)直線(xiàn)l平移時(shí)（包括l與直線(xiàn)AN重合），在直線(xiàn)MK上是否存在點(diǎn)P，使得△PDE是以DE為直角邊的等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）△AMN的形狀是等腰直角三角形，
理由是：∵y=kx-4過(guò)點(diǎn)A（12，0）．
∴k=，
∴y=x-4，
∴N（0，-4），
把A（12，0）代入y=2x+b得b=-24，
∴直線(xiàn)AM為y=2x-24，
當(dāng)x=4時(shí)，y=-16，
∴M（4，-16），
∴AM²=（12-4）²+16²=320，
AN²=12²+4²=160，
MN²=4²+（16-4）²=160，
∴AN²+MN²=160+160=320=AM²，
AN=MN．
∴△AMN是等腰直角三角形．

（2）解：∵y=kx-4過(guò)點(diǎn)A（12，0）．
∴k=，
∵直線(xiàn)l與y=x-4平行，
∴設(shè)直線(xiàn)l的解析式為y=x+b．
則它與x軸的交點(diǎn)D（-3b，0），與y軸交點(diǎn)E（0，b）．
∴OD=3OE．
（Ⅰ）以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，
①根據(jù)題意，點(diǎn)M（4，-16）符合要求；
②過(guò)P作PQ⊥y軸，
當(dāng)△PDE為等腰直角三角形時(shí)，
有Rt△ODE≌Rt△QEP．
∴OE=PQ=4，QE=OD．
∵在Rt△ODE中，OD=3OE，
∴OD=12，QE=12．
∴OQ=8．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-8）
（Ⅱ）以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)．
同理得到P（4，6）．
綜上所得：滿(mǎn)足條件的P的坐標(biāo)為（4，-16），（4，-8），（4，6）
分析：（1）△AMN的形狀是等腰直角三角形，理由是：由題意得N（0，-4）把A（12，0）代入y=2x+b求出直線(xiàn)AMy=2x-24，求出M（4，-16），根據(jù)勾股定理求出AM²、AN²、MN²，得到AN²+MN²=AM²和AN=MN即可；
（2）存在，把A（12，0）代入y=kx-4．求出k，設(shè)直線(xiàn)l的解析式為y=x+b．（Ⅰ）以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)如圖1．①根據(jù)題意，點(diǎn)M（4，-16）符合要求；②過(guò)P作PQ⊥y軸．證Rt△ODE≌Rt△QEP．得到OE=PQ=4，QE=OD．求出OQ=8即可；（Ⅱ）以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)．同理得到P（4，6）；綜合以上結(jié)論即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定，勾股定理，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圖形的平移的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．