Question

已知CD⊥AB，AC²=AD•AB，求證：
（1）CD²=AD•BD；
（2）△ABC是直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)AC²=AD•AB，可證明△ACD∽△ABC，從而得出∠ACD=∠ABC，可證明△ACD∽△CBD，從而得出CD²=AD•BD；
（2）由（1）得△ACD∽△ABC，從而得出∠ACB=90°，則△ABC是直角三角形．

解答：證明：（1）∵AC²=AD•AB，
∴

AC

AB

=

AD

AC

，
∵∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠ABC，
∴△ACD∽△CBD，
∴

CD

BD

=

AD

CD

，
∴CD²=AD•BD；
（2）由（1）得△ACD∽△ABC，
∴∠ADC=∠ACB，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形相似的方法有：三邊對(duì)應(yīng)成比例兩個(gè)三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等，兩個(gè)三角形相似；兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．