Question

12．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+2與x軸分別交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC．點(diǎn)P是BC上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交BC于點(diǎn)N，分別過(guò)P、N兩點(diǎn)作x軸的平行線，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)Q、M，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，求四邊形PQMN周長(zhǎng)的最大值．
（3）當(dāng)四邊形PQMN為正方形時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線的解析式；
（2）先利用對(duì)稱軸確定拋物線的對(duì)稱軸方程，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，接著利用m表示出PN和PQ，從而得到四邊形PQMN周長(zhǎng)與m的二次函數(shù)關(guān)系，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求四邊形PQMN周長(zhǎng)的最大值；
（3）分類討論：當(dāng)0＜m＜1時(shí)，利用PQ=PN得到-$\frac{2}{3}$m²+2m=1-m；當(dāng)1＜m＜3時(shí)，利用PQ=PN得到-$\frac{2}{3}$m²+2m=m-1，然后分別解一元二次方程得到滿足條件的m的值．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=ax²+bx+2=2，則C（0，2），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把C（0，2）代入得a•1•（-3）=2，解得a=-$\frac{2}{3}$，
所以拋物線的解析式為y=-$\frac{2}{3}$（x+1）（x-3），即y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2；
（2）∵拋物線與x軸分別交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
設(shè)直線BC的解析式為y=px+q，
把C（0，2），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{q=2}\\{3p+q=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-\frac{2}{3}}\\{q=2}\end{array}\right.$，
所以直線BC的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+2，
設(shè)P（m，-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+2），則N（m，-$\frac{2}{3}$m+2），
∴PN=-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+2-（-$\frac{2}{3}$m+2）=-$\frac{2}{3}$m²+2m，
而PQ=1-m，
∴四邊形PQMN周長(zhǎng)=2（-$\frac{2}{3}$m²+2m+1-m）=-$\frac{4}{3}$m²+2m+2=-$\frac{4}{3}$（m-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{11}{4}$（0＜m＜1），
∴當(dāng)m=$\frac{3}{4}$時(shí)，四邊形PQMN周長(zhǎng)有最大值，最大值為$\frac{11}{4}$；
（3）當(dāng)0＜m＜1時(shí)，PQ=1-m，
若PQ=PN時(shí)，四邊形PQMN為正方形，即-$\frac{2}{3}$m²+2m=1-m，
整理得2m²-9m+3=0，解得m₁=$\frac{9+\sqrt{57}}{4}$（舍去），m₂=$\frac{9-\sqrt{57}}{4}$，
當(dāng)1＜m＜3時(shí)，PQ=m-1，
若PQ=PN時(shí)，四邊形PQMN為正方形，即-$\frac{2}{3}$m²+2m=m-1，
整理得2m²-3m-3=0，解得m₁=$\frac{3-\sqrt{33}}{4}$（舍去），m₂=$\frac{3+\sqrt{33}}{4}$，
綜上所述，當(dāng)m=$\frac{9-\sqrt{57}}{4}$或m=$\frac{3+\sqrt{33}}{4}$時(shí)，四邊形PQMN為正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)解一元二次方程．