Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，直線l：x=1，點A（2，0），點E，點F，點M都在直線l上，且點E和點F關(guān)于點M對稱，直線EA與直線OF交于點P．

（Ⅰ）若點M的坐標(biāo)為（1，﹣1），

①當(dāng)點F的坐標(biāo)為（1，1）時，如圖，求點P的坐標(biāo)；

②當(dāng)點F為直線l上的動點時，記點P（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

（Ⅱ）若點M（1，m），點F（1，t），其中t≠0，過點P作PQ⊥l于點Q，當(dāng)OQ=PQ時，試用含t的式子表示m．

Answer 1

解：（Ⅰ）①∵點O（0，0），F(xiàn)（1，1），

∴直線OF的解析式為y=x．

設(shè)直線EA的解析式為：y=kx+b（k≠0）、

∵點E和點F關(guān)于點M（1，﹣1）對稱，

∴E（1，﹣3）．

又A（2，0），點E在直線EA上，

∴，

解得 ，

∴直線EA的解析式為：y=3x﹣6．

∵點P是直線OF與直線EA的交點，則，

解得 ，

∴點P的坐標(biāo)是（3，3）．

②由已知可設(shè)點F的坐標(biāo)是（1，t）．

∴直線OF的解析式為y=tx．

設(shè)直線EA的解析式為y=cx+d（c、d是常數(shù)，且c≠0）．

由點E和點F關(guān)于點M（1，﹣1）對稱，得點E（1，﹣2﹣t）．

又點A、E在直線EA上，

∴，

解得 ，

∴直線EA的解析式為：y=（2+t）x﹣2（2+t）．

∵點P為直線OF與直線EA的交點，

∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．

則有 y=tx=（x﹣2）x=x²﹣2x；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直線OF的解析式為y=tx．

直線EA的解析式為y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．

∵點P為直線OF與直線EA的交點，

∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），

化簡，得 x=2﹣．

有 y=tx=2t﹣．

∴點P的坐標(biāo)為（2﹣，2t﹣）．

∵PQ⊥l于點Q，得點Q（1，2t﹣），

∴OQ²=1+t²（2﹣）²，PQ²=（1﹣）²，

∵OQ=PQ，

∴1+t²（2﹣）²=（1﹣）²，

化簡，得 t（t﹣2m）（t²﹣2mt﹣1）=0．

又∵t≠0，

∴t﹣2m=0或t²﹣2mt﹣1=0，

解得 m=或m=．

則m=或m=即為所求．