Question

12．如圖，已知D是△ABC的邊BC上的一點，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線．
（1）若∠B=60°，求∠C的值；
（2）求證：AD是∠EAC的平分線．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件得到∠BAD=∠BDA=60°，于是得到AB=AD，等量代換得到CD=AD，根據等腰三角形的性質得到∠DAC=∠C，推出∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C，即可得到結論；
（2）證明：延長AE到M，使EM=AE，連接DM，推出△ABE≌△MDE，根據全等三角形的性質得到∠B=∠MDE，AB=DM，根據全等三角形的判定定理得到△MAD≌△CAD，根據全等三角形的性質得到∠MAD=∠CAD于是得到結論．

解答 （1）解：∵∠B=60°，∠BDA=∠BAD，
∴∠BAD=∠BDA=60°，
∴AB=AD，
∵CD=AB，
∴CD=AD，
∴∠DAC=∠C，
∴∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C，
∵∠BAD=60°，
∴∠C=30°；

（2）證明：延長AE到M，使EM=AE，連接DM，
在△ABE和△MDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=AE}\\{∠AEB=∠MED}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△MDE，
∴∠B=∠MDE，AB=DM，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠MDE+∠BDA=∠ADM，
在△MAD與△CAD，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=CD}\\{∠ADM=∠ADC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△MAD≌△CAD，
∴∠MAD=∠CAD，
∴AD是∠EAC的平分線．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形中線的定義，正確的作出輔助線是解題的關鍵．