Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A

在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0 , 4），D為OC的中點(diǎn).

1.（1）求m的值；

2.（2）拋物線的對稱軸與 x軸交于點(diǎn)E，在直線AD上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、B、F為頂點(diǎn)的三角形與 相似？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

3.（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)G，使△GBC中BC邊上的高為？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：（1）拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0 , 4），

∴     

∴ 

2.（2）拋物線的解析式為  .

可求拋物線與x軸的交點(diǎn)A（-1，0），B（4，0）.

可求點(diǎn)E的坐標(biāo).

由圖知，點(diǎn)F在x軸下方的直線AD上時，是鈍角三角形，不可能與相似，所以點(diǎn)F一定在x軸上方.

此時與有一個公共角，兩個三角形相似存在兩種情況：

① 當(dāng)時，由于E為AB的中點(diǎn)，此時D為AF的中點(diǎn)，

可求  F點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）.                       ………3分

② 當(dāng)時，.

過F點(diǎn)作FH⊥x軸，垂足為H.

可求  F的坐標(biāo)為.                       ……………4分

 

 

 

 

（3）    

（4）    

 

 

3.(3) 在拋物線的對稱軸上存在符合題意的點(diǎn)G .

由題意，可知△OBC為等腰直角三角形，直線BC為

可求與直線BC平行且的距離為的直線為 y=-x+9或y=-x-1.

…………………6分

∴ 點(diǎn)G在直線y=-x+9或y=-x-1上.

∵ 拋物線的對稱軸是直線,

∴        解得

或       解得

∴ 點(diǎn)G的坐標(biāo)為. 

【解析】略