Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長為8的正方形，M（8，m）、N（n，8）分別是線段AB、BC上的兩個動點(diǎn)，且ON⊥MN，當(dāng)OM最小時，m+n=10．

Answer 1

分析 易證得△OCN∽NBM，則$\frac{CN}{BM}=\frac{OC}{NB}$，由此可求得m與n的關(guān)系式，從而得到t的取值范圍．由勾股定理可得ON=$\sqrt{O{A}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{64+{m}^{2}}$，結(jié)合m的取值范圍可得ON的最小值，從而求得m、n的值．

解答 解：由題意可得OC=OA=8，CN=n，BN=8-n，AM=m，BM=8-m
∵四邊形OABC是正方形，
∴∠C=∠B=90°，
∵ON⊥MN，
∴∠MNO=90°，
∵∠ONC+∠CON=90°，∠ONC+∠BNM=90°，
∴∠CON=∠BNM，
∴△OCN∽NBM，
∴$\frac{CN}{BM}=\frac{OC}{NB}$，
即$\frac{n}{8-m}=\frac{8}{8-n}$，整理得（n-4）²=8m-48，
∵（n-4）²≥0，
∴8m-48≥0，
∴m≥6．
∵OM=$\sqrt{O{A}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{64+{m}^{2}}$，
∴當(dāng)m=6時，OM取得最小值，最小值為10．此時n=4．
∴當(dāng)當(dāng)OM最小時，m+n=10．
故答案為：10．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判斷，判斷出m的取值范圍是解題的關(guān)鍵．