Question

如圖，在正方形紙片ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合，展開后折痕DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、G，連接GF．下列結(jié)論 ①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S_△AGD=S_△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正確的結(jié)論有

1. A.
   ①④⑤
2. B.
   ①②④
3. C.
   ③④⑤
4. D.
   ②③④

Answer 1

A
分析：①由四邊形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折疊的性質(zhì)，可求得∠ADG的度數(shù)；
②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE，即可得tan∠AED=＞2；
③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面積＞△OGD的面積；
④由折疊的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，易得△EFG是等腰三角形，即可證得AE=GF；
⑤易證得四邊形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得BE=2OG．
解答：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折疊的性質(zhì)可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，
故①正確．
∵tan∠AED=，
由折疊的性質(zhì)可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，
∴AE=EF＜BE，
∴AE＜AB，
∴tan∠AED=＞2，
故②錯(cuò)誤．
∵∠AOB=90°，
∴AG=FG＞OG，△AGD與△OGD同高，
∴S_△AGD＞S_△OGD，
故③錯(cuò)誤．
∵∠EFD=∠AOF=90°，
∴EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
∵∠AGE=∠FGE，
∴∠FEG=∠FGE，
∴EF=GF，
∵AE=EF，
∴AE=GF，
故④正確．
∵AE=EF=GF，AG=GF，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四邊形AEFG是菱形，
∴∠OGF=∠OAB=45°，
∴EF=GF=OG，
∴BE=EF=×OG=2OG．
故⑤正確．
∴其中正確結(jié)論的序號(hào)是：①④⑤．
故選：A．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．