Question

操作：在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點(diǎn)．如圖①、②、③是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況．

探究：（1）如圖①，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，則重疊部分四邊形DCEP的面積為

4

，周長(zhǎng)

8

．
（2）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD與PE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖②加以證明．
（3）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時(shí)CE的長(zhǎng)）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)可判斷出PD、PE是△ABC的中位線，繼而可得出PD、PE的長(zhǎng)度，也可得出四邊形DCEP的周長(zhǎng)和面積．
（2）先根據(jù)圖形可猜測(cè)PD=PE，從而連接CP，通過(guò)證明△PCD≌△PEB，可得出結(jié)論．
（3）題目只要求是等腰三角形，所以需要分三種情況進(jìn)行討論，這樣每一種情況下的CE的長(zhǎng)也就不難得出．

解答：解：（1）根據(jù)△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，
∴PD∥BC，PE∥AC，
又∵點(diǎn)P是AB中點(diǎn)，
∴PD、PE是△ABC的中位線，
∴PD=CE=2，PE=CD=2，
∴四邊形DCEP是正方形，面積為2×2=4，周長(zhǎng)為2+2+2+4=8；

（2）證明如下，AC=BC，∠C=90°，P為AB中點(diǎn)，連接CP，
∴CP平分∠C，CP⊥AB，
∵∠PCB=∠B=45°，
∴CP=PB，
∵∠DPC+∠CPE=∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠DPC=∠EPB，
在△PCD和△PEB中，

∠DPC=∠EPB CP=PB ∠DCP=∠B

，
∴△PCD≌△PBE（ASA），
∴PD=PE．

（3）△PBE是等腰三角形，
①當(dāng)PE=PB時(shí)，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，CE=0；
②1）當(dāng)PB=BE時(shí)，E在線段BC上，CE=2-

2

，2）E在CB的延長(zhǎng)線上，CE=2+

2

；
③當(dāng)PE=BE時(shí)，CE=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定，第三問(wèn)的解答應(yīng)分情況進(jìn)行論證，不能漏解，有一定難度．