Question

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2．將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交線段AC、CB于D、E兩點(diǎn)．如圖1、2是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的兩種情況．
（1）如圖1，三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PD⊥AC時(shí)，求證：PD=PE．當(dāng)PD與AC不垂直時(shí)，如圖2，PD=PE還成立嗎？并證明你結(jié)論．
（2）如圖2，三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)△PEB成為等腰三角形時(shí)，求CE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得兩底角相等，根據(jù)垂直，可得所成的角是90°，根據(jù)AAS，可證三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可證明結(jié)論；根據(jù)AAS證明三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)兩邊相等，可得等腰三角形，分類討論，三角形的三邊兩兩分別相等，可得答案．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=BC，P是AB中點(diǎn)，
∴∠A=∠B=45°，AP=PB，
∵PD⊥AC，PD⊥PE
∵∠ADP=∠PEB=90°，
在△ADP和△PEB中，

∠A=∠B ∠ADP=∠PEB AP=BP

，
∴△ADP≌△PEB（AAS），
∴PD=PE．     
當(dāng)PD與AC不垂直時(shí)PD=PE依然成立．
證明：連接PC，
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中點(diǎn)，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=

1

2

∠ACB=45°，
即∠ACP=∠B=45°
∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE，
在△PCD和△PBE中，

∠DCP=∠B ∠DPC=∠BPE PC=PB

∴△PCD≌△PBE（ASA），
∴PD=PE．
（2）分三種情況討論如下：
①當(dāng)PE=PB，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，即CE=0；
②當(dāng)PE=BE時(shí)，CE=1，
③當(dāng)BE=PB時(shí)，CE=2-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）分別用AAS，ASA證明三角形全等，再證明全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；（2）三角形的三邊兩兩分別相等，有三種情況，以防漏掉．