4．如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角分線．
（1）以AB上的一點O為圓心，AD為弦在圖中作出⊙O．（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

分析 （1）因為AD是弦，所以圓心O即在AB上，也在AD的垂直平分線上；
（2）因為D在圓上，所以只要能證明OD⊥BC就說明BC為⊙O的切線．

解答 （1）解：如圖所示，

（2）相切；理由如下：
證明：連結(jié)OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA
∵AD是BAC的角平分線，則∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∵AC⊥BC，則∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠ODA+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
即BC是⊙O的切線．

點評 本題考查了切線的判定以及基本作圖，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．

練習冊系列答案
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14．解方程
（1）4（x-8）=1+3（x+1）
（2）$\frac{3x-1}{2}$-1=$\frac{5x-7}{3}$．

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15．計算：$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}-1$）-|$\sqrt{3}-2$|

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12．若（x+1）0-2（x-2）-2有意義，則x的取值范圍是x≠-1且x≠2．

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19．解方程組
$\left\{\begin{array}{l}{5{x}^{2}-4{y}^{2}=20}\\{\sqrt{15}x-6y=2\sqrt{15}}\end{array}\right.$．

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9．如圖1，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，連接對角線BD．
（1）將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接AE．
①依題意補全圖1；
②試判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）在（1）的條件下，直接寫出線段DA、DB和DC之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖2，F(xiàn)是對角線BD上一點，且滿足∠AFC=150°，連接FA和FC，探究線段FA、FB和FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

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16．在正方形ABCD中，連接BD．
（1）如圖1，AE⊥BD于E．直接寫出∠BAE的度數(shù)．
（2）如圖1，在（1）的條件下，將△AEB以A旋轉(zhuǎn)中心，沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△AB′E′，AB′與BD交于M，AE′的延長線與BD交于N．
①依題意補全圖1；
②用等式表示線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（3）如圖2，E、F是邊BC、CD上的點，△CEF周長是正方形ABCD周長的一半，AE、AF分別與BD交于M、N，寫出判斷線段BM、DN、MN之間數(shù)量關(guān)系的思路．（不必寫出完整推理過程）

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13．如圖，臺風中心位于點P處，并沿北偏西30°方向PQ移動，已知臺風中心移動的速度是30km/h，受臺風影響區(qū)域的半徑為200km．A市位于點P的北偏西60°方向上，與點P的距離為200$\sqrt{3}$km處；B市位于點P的北偏西75°方向上，與點P的距離為210$\sqrt{2}$km處．
（1）本次臺風會影響A市或B市嗎？為什么？
（2）A市或B市若受臺風影響，受影響的時間是多少？

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6．如圖，已知B、D、E、C四點在同一直線上，且AD=AE，∠1=∠2．求證：△ABC是等腰三角形．

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