【題目】已知,⊙O的兩條弦AB、CD相交于點E,
(1)如圖1,若BE=DE,求證: = ;
(2)如圖2,在(1)的條件下,連接OC,AP為⊙O的直徑,PQ為⊙O的弦,且PQ∥AB,求證:∠OCD=∠APQ;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接BD分別與OA、OC交于點G、H,連接DQ,設(shè)CD與AP交于點F, 若PQ=2CF,BH=5GH,DQ=4,求⊙O的半徑.

【答案】
(1)證明:連接AD、BC,

= ,

∴∠B=∠D,

在△AED和△CEB中,

,

∴△AED≌△CEB,

∴AD=BC,

=


(2)證明:連接AC.

= ,

∴∠BAC=∠ACD,

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

∴∠BAO=∠OCD,

∵PQ∥AB,

∴∠BAO=∠APQ,

∴∠COD=∠APQ


(3)連接AD、AH、BP、BQ、DP,延長CO交PQ于M,作AN⊥BD于N.

∵∠OCD=∠APQ.OC=OP,∠AOC=∠POM,

∴△COF≌△POM,

∴CF=PM,

∵PQ=2CF,

∴PQ=2PM,

∴M是PQ的中點,

∴OM⊥PQ,

∴∠CFO=∠PMO=90°

∴AP⊥CD,

= ,

PQ∥AB,

∴∠OMP=∠AKM=90°,

∴OC⊥AB,

=

∴AK=BK,

= = ,OC垂直平分AB,設(shè)GH=a,

∴BH=5GH=5a,

∵OC垂直平分AB,

∴AH=BH=5a,∠HAB=∠HBA,

∴∠AHD=2∠ABH,

= = ,

∴∠ADC=∠CDB=∠ABD,

∴∠ADH=2∠ADC=2∠ABH=∠AHD,

∴AH=AD=5a,

∵CD⊥AP,

∴∠AFD=∠GFD=90°,

∵DF=DF,∠ADC=∠CDB,

∴△ADF≌△GDF,

∴AD=DG=5a,

∴DH=6a,BD=11a,

∵AH=AD,AN⊥DH,

∴NH= DH=3a,

AN= =4a,BN=BH+NH=8a,

在Rt△ABN中,

tan∠ABD= = = ,

=

∴∠ABD=∠APD,

∴tan∠ABD=tan∠APD=

∵AP是直徑,

∴∠ADP=90°,

=

∴PD=2AD=10a,AP= =5 a,

∵AP為直徑,

∴∠ABP=90°,

∵PQ∥AB,

∴∠ABP+∠BPQ=180°,

∵∠ABP=90°,

∴∠BPQ=90°,

∴BQ為⊙O的直徑,

∴BQ=5 a,

∵BQ為⊙O的直徑,

∴∠BDQ=90°,

∴DQ= =2a,

∵DQ=4,

∴2a=4,

∴a=2,AP=5 a=10 ,

∴⊙O的半徑OA= AP=5


【解析】(1)連接AD、BC,只要證明△AED≌△CEB,即可解決問題.(2)連接AC.想辦法證明:∠OCD、∠APQ都與∠PAB相等即可.(3)連接AD、AH、BP、BQ、DP,延長CO交PQ于M,作AN⊥BD于N.由△COF≌△POM,推出M是PQ的中點,OC垂直平分AB,設(shè)GH=a,則BH=5GH=5a,由OC垂直平分AB,推出AH=BH=5a,∠HAB=∠HBA,推出∠AHD=2∠ABH,由 = = ,推出∠ADC=∠CDB=∠ABD,推出∠ADH=2∠ADC=2∠ABH=∠AHD,推出AH=AD=5a,由△ADF≌△GDF,推出AD=DG=5a,推出DH=6a,BD=11a,由AH=AD,AN⊥DH,推出NH= DH=3a,AN= =4a,BN=BH+NH=8a,在Rt△ABN中, tan∠ABD= = = ,由 = ,推出∠ABD=∠APD,推出tan∠ABD=tan∠APD= ,推出 = ,推出PD=2AD=10a,AP= =5 a,再證明BQ為⊙O的直徑,想辦法列出方程即可解決問題.

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A. 6 B. 8 C. 9 D. 10

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