Question

17．已知，點D是線段AB的黃金分割點，若AD＞BD．
（1）若AB=10cm，則AD=（5$\sqrt{5}$-5）cm；
（2）如圖，請用尺規(guī)作出以AB為腰的黃金三角形ABC；
（3）證明你畫出的三角形是黃金三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)黃金分割的概念計算即可；
（2）根據(jù)黃金三角形的概念和尺規(guī)作圖的一般步驟作圖；
（3）根據(jù)黃金分割的概念和黃金三角形的概念證明即可．

解答 解：（1）∵點D是線段AB的黃金分割點，若AD＞BD，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=（5$\sqrt{5}$-5）cm，
故答案為：（$5\sqrt{5}-5$）cm；
（2）分別以A、D為圓心，以AB的長為半徑作弧，兩弧交于點B′，
連接B′D，則△AB′D即為所求；
（3）證明：由（1）得，點D是線段AB的黃金分割點，
∴底邊AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$乘腰AB，
∴三角形ABC是黃金三角形．

點評 此題主要考查了黃金三角形的作法以及黃金三角形的性質(zhì)，熟知黃金三角形的定義是解題關鍵．