Question

已知：如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，連接BC．
（1）線段BC、BE、AB應(yīng)滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（2）若點(diǎn)P是優(yōu)弧

CAD

上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C、A、D重合），連接BP與CD交于點(diǎn)G．
請(qǐng)完成下面四個(gè)任務(wù)：
①根據(jù)已知畫(huà)出完整圖形，并標(biāo)出相應(yīng)字母；
②在正確完成①的基礎(chǔ)上，猜想線段BC、BG、BP應(yīng)滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是

 

；
③證明你在②中的猜想是正確的；
④點(diǎn)P′恰恰是你選擇的點(diǎn)P關(guān)于直徑AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，那么按照要求畫(huà)出圖形后在②中的猜想仍然正確嗎？

 

．（填正確或者不正確，不需證明）

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）利用圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)得出△CBE∽△ABC，進(jìn)而求出即可；
（2）①根據(jù)題意直接畫(huà)出圖形即可；
②利用相似三角形的性質(zhì)猜想得出即可；
③利用相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明即可；
④利用圓的對(duì)稱(chēng)性以及相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行判定得出即可．

解答：解：（1）連接AC，
∵在⊙O中，直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，
∴∠ACB=90°，∠CEB=90°，
又∵∠CBA=∠EBC，
∴△CBE∽△ABC，
∴

CB

AB

=

BE

BC

，
∴BC²=BE•AB，
故答案為：BC²=BE•AB；

（2）①如圖所示：
②猜想：BC²=BG•PB；
③證明：∵直徑AB⊥CD，
∴

BC

=

BD

，
∴∠BCD=∠P，
又∵∠CBG=∠PBC，
∴△BCG∽△BPC，
∴

BG

BC

=

BC

PB

，
∴BC²=BG•PB；
④如圖所示：點(diǎn)P′恰恰是你選擇的點(diǎn)P關(guān)于直徑AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則BG=BG′，PB=P′B，
那么按照要求畫(huà)出圖形后在②中的猜想仍然正確．
故答案為：正確．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)和圓周角定理等知識(shí)，熟練利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．