Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，cosB=

3

5

，現作如下操作：將△ACB沿直線AC翻折，然后再放大得到△A′CB′（點A′、C、B′的對應點分別是點A、C、B），聯結A′B，如果△AA′B是等腰三角形，那么B′C的長是

 

．

Answer 1

考點：旋轉的性質

專題：計算題

分析：在Rt△ABC中，根據余弦的定義得到cosB=

BC

AB

=

3

5

，則可得到BC=3，再利用勾股定理計算出AC=4，由于∠BAA′＞90°，△AA′B是等腰三角形，所以只有AA′=AB=5，則A′C=AA′+AC=9，再根據折疊和位似的性質得∠B′=∠B，于是可判斷Rt△A′B′C∽Rt△ABC，然后利用相似比可計算出B′C．

解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，cosB=

3

5

，
∴cosB=

BC

AB

=

3

5

，即BC=3，
∴AC=

AB2-BC2

=4，
∵∠BAA′＞90°，△AA′B是等腰三角形，
∴AA′=AB=5，
∴A′C=AA′+AC=5+4=9，
∵△ACB沿直線AC翻折，然后再放大得到△A′CB′，
∴∠B′=∠B，
∴Rt△A′B′C∽Rt△ABC，
∴

A′C

AC

=

B′C

BC

，即

9

4

=

B′C

3

，
∴B′C=

27

3

．
故答案為

27

4

．

點評：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質．