Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）．拋物線y₁=x²+bx+c經(jīng)過O、A兩點(diǎn)．
（1）則直線OB函數(shù)關(guān)系式______，拋物線y₁的函數(shù)關(guān)系式______．
（2）若沿x軸負(fù)方向平移拋物線y₁，使其經(jīng)過點(diǎn)B，得到拋物線y₂，則平移的距離是______個(gè)單位長度，拋物線y₂的解析式是______．
（3）設(shè)P為線段OB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線分別交拋物線y₁、y₂于點(diǎn)Q、R，連接CP、CR、CQ．若P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)△CPR的面積是△CQR的面積的2倍時(shí)，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出A，B，C的點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法分別求出直線OB函數(shù)關(guān)系式，拋物線y₁的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用二次函數(shù)圖象的平移性質(zhì)，沿x軸負(fù)方向平移拋物線y₁，得出a，c的值不變，即可求出；
（3）表示出△CPR的面積以及△CQR的面積根據(jù)兩者的面積關(guān)系得出m的值．
解答：解：（1）∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），
∴代入解析式y(tǒng)=kx，
得出OB：y=x；
根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），
∴A（0，0），C（4，0）
代入y₁=x²+bx+c，
∴，
∴c=0，b=-1，
∴y₁=x²-x；
故答案為：y=x，y₁=x²-x；

（2）∵y₁=x²-x=（x-2）²-1；
∵沿x軸負(fù)方向平移拋物線y₁，使其經(jīng)過點(diǎn)B，得到拋物線y₂，
∴拋物線y₂過B點(diǎn)，假設(shè)y₂=（x+a）²-1；
代入B點(diǎn)，解得：a=0或-8（不合題意舍去），
∴平行的距離為：2個(gè)單位長度，
∴y₂=x²-1；

（3）由題意知0≤m≤4．
要使△CPR的面積是△CQR的面積的2倍，只需PR=2QR．
若Q在R、P之間，則PR=m-（m²-1）=-m²+m+1
2QR=2[m²-m-（m²-1）]=2-2m．
∴-m²+m+1=2-2m，
解得m₁=，m₂=，
∵m₂＞5，不符合題意，舍去．
若R在Q、P之間，則PR=m-（m²-1）=-m²+m+1，
2QR=2[m²-1-（m²-m）]=2m-2．
∴-m²+m+1=2m-2，
解得：m₁=，m₂=，
∵m₂＜0，不符合題意，舍去．
綜上所述，當(dāng)△CPR的面積是△CQR的面積的2倍時(shí)，
m=或m=．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的性質(zhì)以及圖象的平移等知識，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，注意分類討論思想的應(yīng)用．