Question

如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊BC上一點(diǎn)（異于點(diǎn)B、C），AM的垂直平分線分別交AB、CD、BD于E、F、K，連AK、MK．下列結(jié)論：①EF=AM；②AE=DF+BM；③EK＞FK； ④∠AKM=90°．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

D
分析：根據(jù)三角形的全等得出△ABM≌△FGE，進(jìn)而得出EF=AM，再利用矩形的性質(zhì)可得出AE=DF+BM；再利用相似三角形的性質(zhì)判斷出線段之間的關(guān)系即可得出正確答案．
解答：作FG⊥AB于G，
∵AM的垂直平分線分別交AB、CD、BD于E、F、K，
∴∠ANE=90°，AN=MN，
∵∠AEN=∠AMB，∠ABM=∠EGF，GF=AB，
∴△ABM≌△FGE，
∴EF=AM，
故①選項(xiàng)正確，
由①得：AG=DF，GE=BM，
∴AE=DF+BM；
故②選項(xiàng)正確，
將M點(diǎn)當(dāng)作動點(diǎn)問題，M點(diǎn)從B運(yùn)動到C，可發(fā)現(xiàn)BK由等于DK變?yōu)榇笥贒K，然而M不與BC點(diǎn)重合，所以BK始終大于DK，△KEB∽△KFD，
∴EK＞FK，
故③此選項(xiàng)正確；
過點(diǎn)K作RT⊥BC，此時(shí)TR⊥AD，
∵∠RDK=∠KDW=45°，
∴四邊形DRKW是正方形，
∴RD=RK，
∴AR=KT，
∵AM=KM，
∴△ARK≌△KTM（HL），
∴∠AKR=∠KMT，
∴∠AKR+∠MKT=90°，
∴∠AKM=90°，
故④本選項(xiàng)正確．
故選D．
點(diǎn)評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和垂直平分線的性質(zhì)等知識，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)是求線段關(guān)系常用的方法．