Question

定義[a，b，c]為函數(shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[m，1-m，-1]的函數(shù)的一些結(jié)論：
①當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）；
②當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線(xiàn)段長(zhǎng)度大于1；
③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在x＜

1

2

時(shí)，y隨x的增大而減�。�
④當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)．
其中正確的結(jié)論有（　　）

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：新定義

分析：①把m=-1代入[m，1-m，-1]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式解答即可；
②令函數(shù)值為0，求得與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式解決問(wèn)題；
③根據(jù)特征數(shù)的特點(diǎn)，直接得出x的值，進(jìn)一步驗(yàn)證即可解答；
④首先求得對(duì)稱(chēng)軸，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．

解答：解：根據(jù)定義可得函數(shù)y=mx²+（1-m）x-1，
①當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)解析式為y=-x²+2x-1，
∵y=-x²+2x-1=-（x-1）²，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0），正確；
②函數(shù)y=mx²+（1-m）x-1與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（-

1

m

，0），
當(dāng)m＞0時(shí)，1-（-

1

m

）=1+

1

m

＞1，正確；
③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)y=mx²+（1-m）x-1開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸x=

1

2

-

1

2m

＞

1

2

，
∴函數(shù)在x＜

1

2

時(shí)，y隨x的增大而增大，錯(cuò)誤；
④當(dāng)m≠0時(shí)，把x=1代入解析式，得y=0，則函數(shù)一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，難度適中．