Question

如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中點，過點E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點O與原點重合，OC在x軸正半軸上，點A、B在第一象限內(nèi)。

（1）   求點E的坐標(biāo)；

（2）   點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM⊥EF交OC于點M，過M作MN∥AO交折線ABC于點N，

連結(jié)PN。設(shè)PE=x.△PMN的面積為S。

①  求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②  △PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請說明理由。若存在，求出面積的最大值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）。現(xiàn)在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個單位的速度沿OC方向向右移動，直到點D與點C重合時停止（如圖2）。設(shè)運動時間為t秒，運動后的直角梯形為E′D′G′H′;探究：在運動過程中，等腰梯形ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時間t的函數(shù)關(guān)系式。

 

Answer 1

【答案】

（1）E（1，）                    

（2）①當(dāng)0≤X≤1時，S=                

     當(dāng)1＜X≤4時，S=-    

②若0≤X≤1時，S=             

若1＜X≤4時，S=-

∵-＜0 ∴S隨X的增大而減小

∴S不存在最大值                    

∴綜上所述，當(dāng)0≤X≤1時，S存在最大值，最大值為  

（3）當(dāng)0≤t≤2時，直角梯形E′D′G′H′落在等腰梯形內(nèi)部，這時重疊部分的面積即為直角梯形面積，y=×（2+3）× =

當(dāng)2＜X≤4時，y=×（4-t+5-t）× =-  t+

當(dāng)4＜X≤5時，y=(5-t)×× (5-t)= （5-t）²

【解析】本試題主要是考查了三角形面積的表示以及點的坐標(biāo)的求解和函數(shù)關(guān)系式等知識的綜合運用。

（1）因為在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中點，過點E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點O與原點重合，OC在x軸正半軸上，點A、B在第一象限內(nèi)。故利用平行可知點E的坐標(biāo)；

（2）點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM⊥EF交OC于點M，過M作MN∥AO交折線ABC于點N，連結(jié)PN。設(shè)PE=x.△PMN的面積為S，根據(jù)點的位置，分別討論得到S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；然后根據(jù)解析時分析其最值。

（3）因為固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個單位的速度沿OC方向向右移動，直到點D與點C重合時停止，設(shè)運動時間為t秒，運動后的直角梯形為E′D′G′H′;可以知道在運動過程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積即為直角梯形面積，可以得到y(tǒng)與時間t的函數(shù)關(guān)系式