【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB是⊙O的直徑,經過點A作AE⊥OC,垂足為點D,AE與BC交于點F,與過點B的直線交于點E,且EB=EF.
(1)求證:BE是⊙O的切線;
(2)若CD=1,cos∠AEB= ,求BE的長.

【答案】
(1)證明:∵B、C在⊙O上,

∴OB=OC,

∴∠OBC=∠OCB,

∵EF=EB,

∴∠EBC=∠EFB,

又∵∠AFC=∠EFB,

∴∠AFC=∠EBC,

∵AE⊥OC,

∴∠AFC+∠OCB=90°,

∴∠EBC+∠OBC=90°,即BE⊥OB,

又OB是⊙O的半徑,

∴EB是⊙O的切線


(2)解:設⊙O的半徑為r,則OA=OC=r,

又CD=1,

∴OD=r﹣1,

∵∠AOD+∠EAB=90°,∠AEB+∠EAB=90°,

∴∠AOD=∠AEB,

∴cos∠AOD=cos∠AEB= ,

∴在Rt△AOD中,cos∠AOD= = ,即 =

解得:r= ,

∵AB是⊙O的直徑,

∴AB=5,

在Rt△AEB中,cos∠AEB= = ,

∴AE= BE,

又AE2=AB2+BE2,即( BE)2=BE2+52

解得:BE=


【解析】(1)由∠OBC=∠OCB、∠EBC=∠EFB=∠AFC,根據(jù)∠AFC+∠OCB=90°可得∠EBC+∠OBC=90°,即可得證;(2)設⊙O的半徑為r,在Rt△AOD中根據(jù)cos∠AOD=cos∠AEB= 可得r= ,由cos∠AEB= = 知AE= BE,Rt△ABE中,根據(jù)勾股定理有( BE)2=BE2+52 , 解之可得.
【考點精析】掌握垂徑定理和三角形的外接圓與外心是解答本題的根本,需要知道垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條。贿^三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓,其圓心叫做三角形的外心.

練習冊系列答案
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【題目】甲、乙兩人參加學校組織的理化實驗操作測試,近期的5次測試成績如圖所示.

(1)請你根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)填寫表格;

姓名

平均數(shù)

眾數(shù)

方差

8

8

2.8

(2)從平均數(shù)和方差相結合看,誰的成績好些?從發(fā)展趨勢來看,誰的成績好些?

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(1)如圖1,已知直線y=2x+4x軸、y軸分別交于A、B兩點,求線段AB的長.

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如圖①,點C在線段AB上,圖中共有三條線段AB、ACBC,若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍,則稱點C是線段AB巧點”.

線段的中點__________這條線段的巧點;(填不是.

AB = 12cm,點C是線段AB的巧點,則AC=___________cm

【解決問題】

3如圖②,已知AB=12cm.動點P從點A出發(fā),以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動:點Q從點B出發(fā),以1cm/s的速度沿BA向點A勻速移動,點P、Q同時出發(fā),當其中一點到達終點時,運動停止,設移動的時間為ts.t為何值時,A、P、Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的巧點?說明理由

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