Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

2

x

的圖象與正比例函數(shù)y=kx的圖象交于點(diǎn)A（m，-2）．
（1）求正比例函數(shù)的解析式及兩函數(shù)圖象另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）試根據(jù)圖象寫出不等式

2

x

≥kx的解集；
（3）在反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)C，使△OAC為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：代數(shù)綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=

2

x

求出m的值，再運(yùn)用A的坐標(biāo)求出k，兩函數(shù)解析式聯(lián)立得出B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）把k的值代入不等式，討論當(dāng)a＞0和當(dāng)a＜0時(shí)分別求出不等式的解．
（3）討論當(dāng)C在第一象限時(shí)，△OAC不可能為等邊三角形，當(dāng)C在第三象限時(shí)，根據(jù)OA=OC，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再看AC的值看是否構(gòu)成等邊三角形．

解答：解：（1）把A（m，-2）代入y=

2

x

，得-2=

2

m

，
解得m=-1，
∴A（-1，-2）代入y=kx，
∴-2=k×（-1），解得，k=2，
∴y=2x，
又由2x=

2

x

，得x=1或x=-1（舍去），
∴B（1，2），
（2）∵k=2，
∴

2

x

≥kx為

2

x

≥2x，
根據(jù)圖象可得：當(dāng)x≤-1和0＜x≤1時(shí)，反比例函數(shù)y=

2

x

的圖象恒在正比例函數(shù)y=2x圖象的上方，即

2

x

≥2x．
（3）①當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，△OAC不可能為等邊三角形，
②如圖，當(dāng)C在第三象限時(shí)，要使△OAC為等邊三角形，則OA=OC，設(shè)C（t，

2

t

）（t＜0），

∵A（-1，-2）
∴OA=

5

∴t²+

4

t2

=5，則t⁴-5t²+4=0，
∴t²=1，t=-1，此時(shí)C與A重合，舍去，
t²=4，t=-2，∴C（-2，-1），而此時(shí)AC=

2

，AC≠AO，
∴不存在符合條件的點(diǎn)C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，看是否構(gòu)成等邊三角形．