Question

如圖，⊙O的直徑BC=4，過點(diǎn)C作⊙O的切線m，D是直線m上一點(diǎn)，且DC=2，A是線段BO上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD交⊙O于G，過點(diǎn)A作AD的垂線交直線m于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)H，連接GH交BC于E．
（1）當(dāng)點(diǎn)A是BO的中點(diǎn)時(shí)，求AF的長；
（2）若∠AGH=∠AFD，求△AGH的面積．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)A是BO的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)△ACD∽△FCA，可將AF的長求出；
（2）當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，根據(jù)△AGH∽△AFD，可將△AFD的面積求出；當(dāng)GH不是直徑時(shí)，可知△AGH為等腰直角三角形，從而可將△AFD的面積求出．

解答：解：（1）∵BC=4，A是OB的中點(diǎn)
∴AC=3
又∵DC為⊙O的切線
∴∠ACD=∠ACF=90°
∵AD⊥AF
∴∠ADC、∠CAF都和∠DAC互余
∴∠ADC=∠CAF
∴△ACD∽△FCA
∴CD：AC=AC：FC
即2：3=3：FC
∴FC=

9

2

∴AF=

AC2+CF2

=

32+( 9 2 )2

=

3 13

2

；

（2）∵∠AGH=∠AFD，∠DAF=∠HAG，
∴△AGH∽△AFD，
∴∠AGH=∠F=∠CAG，∠AHG=∠D=∠CAF，
∴AE=GE=HE，
①如圖1，如果GH是直徑（即A與B重合，E與O重合），那么GH=4；
在直角△AFD中，F(xiàn)C=8，F(xiàn)D=10，
∵△AGH∽△AFD，
∴△AGH與△AFD相似比為GH：FD=4：10，
∴這兩個(gè)相似三角形的面積比為16：100，
而△AFD的面積為20，
∴△AGH的面積=20×16÷100=3.2；
②如圖2，如果GH不是直徑，由GE=HE，
根據(jù)垂徑定理的推論可得GH⊥BC，
∴AC垂直平分GH，
∴AG=AH，且GH∥FD，
而∠GAH=90°，則∠AGH=45°．
∴∠D=∠AGH=45°，
∴在直角三角形△ACD中，∠DAC=45°．
∴AC=CD=2
而OC=2，
∴A、O點(diǎn)重合，故AG=AH=2
∴△AGH的面積=2．

點(diǎn)評：本題考查綜合應(yīng)用圓，相似三角形等知識(shí)的推理論證能力．