Question

平面上給定四個(gè)點(diǎn)，兩兩連接這四點(diǎn)的諸直線不平行，不垂直，也不重合．過(guò)每一點(diǎn)作其余三點(diǎn)兩兩連接的直線的垂線，若不算已知的四點(diǎn)，這些垂線間有多少個(gè)不同交點(diǎn)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：首先求出過(guò)每一點(diǎn)作其余三點(diǎn)兩兩連接的直線的垂線的條數(shù)，然后求出過(guò)4個(gè)點(diǎn)能作出的總的垂線條數(shù)，最后根據(jù)組合的知識(shí)求出這些垂線間交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：從A點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)垂線有一個(gè)交點(diǎn)，記數(shù)1；
   從A點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)垂線與從B點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)垂線中各有一條線與CD垂直，故從A出發(fā)的與CD垂直的直線與B點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)垂線有兩個(gè)交點(diǎn)，從A點(diǎn)出發(fā)的另兩個(gè)垂線與B點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)垂線各有三個(gè)交點(diǎn)，故從A，B出發(fā)的垂線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2+3+3=8；
 同理從A，C； A，D出發(fā)的垂線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)也為2+3+3=8；
從B，D；B，C；C，D出發(fā)的垂線交點(diǎn)個(gè)數(shù)也為8個(gè)，而各點(diǎn)出發(fā)的三條垂線本身一個(gè)交點(diǎn)，由此可得1+1+1+1+8×6=52．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查排列與組合的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是求出這些點(diǎn)過(guò)另外3點(diǎn)兩兩連接的直線的垂線的條數(shù)，再利用組合的知識(shí)很容易解答，本題難度一般．