Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，CD⊥AB，垂足為D．任意作∠EDF=60°，點E、F分別在邊AC、BC上．設(shè)AE=x，BF=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出它的定義域；
（2）當x為何值時，△BDF是等腰三角形？

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）作FN⊥AB于N，在BA上取點M使MF=FB，如圖，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系易得AB=2AC=4，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得∠3=2∠B=60°，在Rt△ACD中可計算出AD=

1

2

AC=1；在Rt△BFN中可計算得FN=

1

2

BF=

1

2

y，BN=

3

FN=

3

2

y；在Rt△FNM中可計算出MN=

3

3

FN=

3

6

y，F(xiàn)M=2MN=

3

3

y，則DM=AB-AD-MB=3-

3

3

y，由于∠EDF=60°，則∠1+∠ADE=120°，加上∠1+∠ADE=120°，所以∠1=∠2，根據(jù)三角形相似的判定得到△DFM∽△EDA，利用相似比得

3 3 y

1

=

3- 3 3 y

x

，整理得y=

3 3

x+1

（

1

2

≤x≤2）；
（2）分類討論：當FD=FB時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BN=

1

2

BD，即

3

2

y=

1

2

•3，解得y=

3

，然后把y=

3

代入y=

3 3

x+1

可計算出對應(yīng)的x的值；當BF=BD=3，則把y=3代入y=

3 3

x+1

可計算出對應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）作FN⊥AB于N，在BA上取點M使MF=FB，如圖，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=4，∠3=2∠B=60°，
在Rt△ACD中，AD=

1

2

AC=1，
在Rt△BFN中，F(xiàn)N=

1

2

BF=

1

2

y，BN=

3

FN=

3

2

y，
在Rt△FNM中，MN=

3

3

FN=

3

6

y，F(xiàn)M=2MN=

3

3

y，
∴DM=AB-AD-MB=4-1-

3

3

y=3-

3

3

y，
∵∠EDF=60°，
∴∠1+∠ADE=120°，
∵∠1+∠ADE=120°，
∴∠1=∠2，
而∠3=∠A，
∴△DFM∽△EDA，
∴

FM

AD

=

DM

AE

，即

3 3 y

1

=

3- 3 3 y

x

，
∴y=

3 3

x+1

（

1

2

≤x≤2）；
（2）當FD=FB時，則BN=DN，
∴BN=

1

2

BD，即

3

2

y=

1

2

•3，解得y=

3

，
把y=

3

代入y=

3 3

x+1

得

3 3

x+1

=

3

，解得x=2；
當BF=BD時，即y=3，
把y=3代入y=

3 3

x+1

得

3 3

x+1

=3，解得x=

3

-1，
∴當

3

-1或2時，△BDF是等腰三角形．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊的比相等，都等于相似比．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．