Question

如圖，已知半圓O的直徑AB，將一個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)固定在圓心O上，當(dāng)三角尺繞著點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，三角尺的兩條直角邊與半圓圓周分別交于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)AD、BC交于點(diǎn)E．
（1）求證：BD=DE．
（2）連接CD，若BE=2

2

，∠BAD=30°，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,含30度角的直角三角形,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）由圓周角定理可求得∠DBE=45°，繼而求得∠DEB=∠DBE=45°，即可證得結(jié)論；
（2）由BE=2

2

，∠BAD=30°，易得△OBD是等邊三角形，△OCD是等腰直角三角形，繼而求得答案．

解答：（1）證明：∵∠COD=90°，
∴∠DBE=

1

2

×90°=45°，
∵AB為直徑，
∴∠BDE=90°，
∴∠DEB=∠DBE=45°，
∴BD=DE；

（2）解：∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵BD=DE，
∴BD=

2

2

BE=

2

2

×2

2

=2，
∵∠BAD=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴OD=BD=2，
∵OC=OD，∠COD=90°，
∴CD=

2

OD=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．