Question

如圖，已知P是正方形ABCD內(nèi)一點，PA=1，PB=2，PC=3，以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點A與點C重合，這時P點旋轉(zhuǎn)到G點，連接BG、CG、PG．
（1）△ABP以點B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了

 

度；
（2）求出PG的長度；
（3）以點G為圓心，r為半徑作⊙G：
①當半徑r滿足

 

時，⊙G與邊PC只有一個交點；
②當半徑r滿足

 

時，⊙G與邊PC有兩個交點；
③當半徑r滿足

 

時，⊙G與邊PC沒有交點．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出即可；
（2）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出即可；
（3）先求出三角形PGC的高GE的長，再根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系得出即可．

解答：解：（1）
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點A與點C重合，
∴△ABP以點B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了90°，
故答案為：90；

（2）∵△ABP繞B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△BGC，
∴∠PBG=90°，BP=BG=2，AP=CG=1，
∴由勾股定理得：PG=

22+22

=2

2

；

（3）過G作GE⊥PC于E，
∵PC=3，PG=2

2

，CG=1，
∴PC²=PG²+CG²，
∴∠PGC=90°，
根據(jù)三角形的面積公式得：PC×DE=PG×CG，
∴3×DE=2

2

×1，
∴DE=

2 2

3

，
∵PG=2

2

，CG=1，
∴①當半徑r=

2 2

3

或1時，⊙G與邊PC只有一個交點；
②當半徑r滿足

2 2

3

＜r≤1時，⊙G與邊PC有兩個交點；
③當半徑r滿足r＜

2 2

3

或r＞2

2

時，⊙G與邊PC沒有交點；
故答案為：=

2 2

3

或2

2

，

2 2

3

＜r≤1，r＜

2 2

3

或r＞2

2

．

點評：本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，正方形的性質(zhì)，三角形的面積，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，題目綜合性比較強，難度偏大．