Question

已知：如圖，M、N分別是▱ABCD的對邊中點，且AD=2AB，求證：PMQN為矩形．

Answer 1

【考點】矩形的判定；平行四邊形的性質．

【專題】證明題．

【分析】連接MN．由于四邊形ABCD是平行四邊形，那么AD平行且等于BC，而M、N是AD、BC的中點，從而可證DM平行且等于BN，于是可證四邊形BNDM是平行四邊形，則BM∥DN，同理可證AN∥CM，那么可證四邊形PNQM是平行四邊形，由于AM平行等于BN，且AB=BN=BC，則可知四邊形ABNM是菱形，利用菱形的性質，可知AN⊥BM，即∠MPN=90°，那么平行四邊形PNQM是矩形．

【解答】證明：連接MN，如圖所示：

∵ABCD為平行四邊形，

∴AD平行且等于BC，

又∵M為AD的中點，N為BC的中點，

∴MD平行且等于BN，

∴BNDM為平行四邊形，

∴BM∥ND，

同理AN∥MC，

∴四邊形PMQN為平行四邊形，

連接MN，

∵AM平行且等于BN，

∴四邊形ABNM為平行四邊形，

又∵AD=2AB，M為AD中點，

∴BN=AB，

∴四邊形ABNM為菱形，

∴AN⊥BM，

∴平行四邊形PMQN為矩形．

【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質、菱形的判定和性質、矩形的判定；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證出AN⊥BM是解決問題的關鍵．