Question

如圖，矩形ABCD的邊AB=4，BC=3．一簡(jiǎn)易量角器放置在矩形ABCD內(nèi)，其零度線即半圓O的直徑與邊AB重合，點(diǎn)A處是0刻度，點(diǎn)B處是180刻度．P點(diǎn)是量角器的半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)的切線與邊BC、CD（或其延長(zhǎng)線）分別交于點(diǎn)E、F．設(shè)點(diǎn)P的刻度數(shù)為n，∠PAB=α．
（1）當(dāng)n=136時(shí)，α=

 

，求出α與n的關(guān)系式；
（2）在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，線段EB與EP有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)予證明；
（3）在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，F(xiàn)點(diǎn)在直線CD上的位置隨著α的變化而變化，當(dāng)F點(diǎn)在線段CD上時(shí)、在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)、在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，對(duì)應(yīng)的α值分別是多少？（參考數(shù)據(jù)：tan56.3°≈1.5）
（4）連接BP，在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在△ABP與△CEF相似的情況？若存在，求出此時(shí)n的值以及相應(yīng)的EF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形,矩形的性質(zhì),圓周角定理,切線長(zhǎng)定理,相似三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：壓軸題

分析：（1）由∠AOP=136°可求出∠POB，進(jìn)而求出∠PAB，用同樣的方法就可求出α與n的關(guān)系．
（2）運(yùn)用切線長(zhǎng)定理即可解決問題．
（3）先考慮各種臨界位置下α的值，就能得出點(diǎn)F分別在線段CD上、CD的延長(zhǎng)線上、DC的延長(zhǎng)線上時(shí)對(duì)應(yīng)α的取值范圍．
（4）分點(diǎn)E在線段BC上和點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行討論，利用等邊三角形和直角三角形的有關(guān)性質(zhì)即可解決問題．

解答：解：（1）連接OP，如圖1，
由題可知：∠AOP=136°．
∴∠POB=44°．
∴∠PAB=22°．
∵∠AOP=n°，
∴∠POB=180°-n°．
∴∠PAB=α=

1

2

∠POB=

1

2

（180°-n°）=90°-

1

2

n°．
故答案為：22°，
α與n的關(guān)系式α=90°-

1

2

n°．

（2）EB=EP．
理由如下：
如圖1，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∴EB與半圓O相切．
又∵EP與半圓O相切，
∴由切線長(zhǎng)定理得：EB=EP．

（3）①如圖2，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，連接DO．
由切線長(zhǎng)定理得：DP=DA=3，∠ADO=∠PDO．
∴DO⊥AP．
∴∠DAP=90°-∠ADO=∠DOA．
∵∠DAO=90°，AD=3，A0=2，
∴tan∠DOA=

AD

AO

=

3

2

=1.5．
∵tan56.3°≈1.5，
∴∠DOA=56.3°．
∴∠DAP=∠DOA=56.3°．
∴α=90°-56.3°=33.7°．
②如圖3，當(dāng)∠POB=90°時(shí)，顯然過點(diǎn)P的切線與CD平行，
此時(shí)，α=45°．
③如圖4，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合．同①可得：α=56.3°．
結(jié)合以上臨界位置可得：
當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上時(shí)，0°＜α≤33.7°或56.3°≤α＜90°；
當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，33.7°＜α＜45°；
當(dāng)點(diǎn)F在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，45°＜α＜56.3°．

（4）存在△ABP與△CEF相似的情況．
①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，如圖5所示，
若△ABP與△CEF相似，則必有∠ABP=∠CEF．
∵EF與半圓O相切，
∴∠OPE=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∴∠OPE=∠ABC=90°
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP．
∴∠EPB=∠EBP．
∴∠CEF=2∠EBP．
∴∠ABP=2∠EBP．
∵∠ABP+∠EBP=90°，
∴∠ABP=60°．
∴∠AOP=2∠ABP=120°．
∴n=120°．
此時(shí)，∠PAB=∠EPB=∠EBP=30°．
過點(diǎn)E作EH⊥BP，垂足為H．
∵EP=EB，EH⊥BP
∴PH=BH=

1

2

PB=

1

2

×2=1．
∴cos∠HBE=

HB

BE

=

1

BE

=

3

2

．
∴BE=

2 3

3

．
∴CE=3-

2 3

3

．
∵∠CEF=∠ABP=60°，
∴∠CFE=30°，
∴EF=2CE=6-

4 3

3

．
②當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖6所示，
若△ABP與△CEF相似，則必有∠ABP=∠EFC．
∴∠E=90°-∠EFC=90°-∠ABP=∠EBP．
∵EB=EP，
∴∠EPB=∠EBP．
∴∠EPB=∠EBP=∠E．
∴△EPB是等邊三角形．
∴∠EPB=∠EBP=60°．
∴∠OPB=∠OBP=30°．
∴∠AOP=60°．
∴n=60°．
∵AB=4，∠PBA=30°，
∴AP=2，PB=2

3

．
∴EB=PB=2

3

．
∴EC=2

3

-3．
∵∠EFC=90°-60°=30°，
∴EF=2EC=4

3

-6．
綜上所述：△ABP與△CEF相似時(shí)，n=60°，EF=4

3

-6或n=120°，EF=6-

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、圓周角定理、切線長(zhǎng)定理、銳角三角函數(shù)的定義、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，考查了用臨界值法求α的范圍，綜合性比較強(qiáng)