Question

如圖1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC．
（1）探究PG與PC的位置關(guān)系及的值（寫出結(jié)論，不需要證明）；
（2）如圖2，將原問題中的正方形ABCD和正方形BEFG換成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC=∠BEF=60度．探究PG與PC的位置關(guān)系及的值，寫出你的猜想并加以證明；
（3）如圖3，將圖2中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的邊BG恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，問題（2）中的其他條件不變．你在（2）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．

Answer 1

解：（1）線段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC；=1；

（2）猜想：線段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC；=．
證明：如圖2，延長GP交DC于點H，
∵P是線段DF的中點，
∴FP=DP，
由題意可知DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP=HP，GF=HD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CG=CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三線合一）
又∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠GCP=60°，
∴=；

（3）在（2）中得到的兩個結(jié)論仍成立．
證明：如圖3，延長GP到H，使PH=PG，
連接CH，CG，DH，
∵P是線段DF的中點，
∴FP=DP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC，
∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，點A、B、G又在一條直線上，
∴∠GBC=120°，
∵四邊形BEFG是菱形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，
即∠HCG=120°
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，
∴=．即PG=PC．
分析：（1）可通過構(gòu)建全等三角形求解．延長GP交DC于H，可證三角形DHP和PGF全等，已知的有DC∥GF，根據(jù)平行線間的內(nèi)錯角相等可得出兩三角形中兩組對應(yīng)的角相等，又有DP=PF，因此構(gòu)成了全等三角形判定條件中的（AAS），于是兩三角形全等，那么HP=PG，DH=GF=BG，那么可得出CH=CG，于是三角形CHG就是等腰三角形且CP是底邊上的中線，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點，即可得出CP=PG=PH，CP⊥PG；
（2）方法同（1），只不過三角形CHG是個等腰三角形，且頂角為120°，可根據(jù)三角函數(shù)來得出PG、CP的比例關(guān)系；
（3）經(jīng)過（1）（2）的解題過程，我們要構(gòu)建出以CP為底邊中線的等腰三角形，那么可延長GP到H，使PH=PG，連接CH、DH，那么根據(jù)前兩問的解題過程，我們要求的是三角形CHG是個等腰三角形，關(guān)鍵是證三角形CDH和CBG全等，已知的只有CD=CB，我們可通過其他的全等三角形來得出三角形CDH和CBG全等的條件．三角形DHP和FGP中，有一組對頂角，DP=PF，HP=PG，那么這兩個三角形就全等，可得出DH=GF=BG，∠HDP=∠GFP，根據(jù)平行線間的內(nèi)錯角相等可得出∠CDP=∠EFD，那么∠CDH=∠EFG=∠CBG，由此可得出三角形CDH和CBG全等，然后證法同（2）．
點評：本題主要考查了正方形，菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定等知識點，根據(jù)已知和所求的條件正確的構(gòu)建出相關(guān)的全等三角形是解題的關(guān)鍵．