Question

已知：如圖△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E，F分別在線段AB，AC上，且∠EDF=90°
（1）求證：△DEF為等腰直角三角形；
（2）求證：S_{四邊形AEDF}=S_△BDE+S_△CDF；
（3）如果點E運動到AB的延長線上，F在射線CA上且保持∠EDF=90°，△DEF還仍然是等腰直角三角形嗎？請畫圖說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AD，根據等腰直角三角形的性質可得AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，從而得到∠1=∠B，再根據同角的余角相等求出∠2=∠4，然后利用“AAS”證明△BDE和△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等可得DE=DF，從而得證；
（2）同理求出△ADE和△CDF全等，根據全等三角形的面積相等即可得證；
（3）依然成立，連接AD，根據等腰直角三角形的性質可得AD=BD，∠CAD=45°，再根據等角的補角相等求出∠DAF=∠DBE，然后利用“AAS”證明△BDE和△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等可得DE=DF，從而得證．

解答：（1）證明：如圖，連接AD，∵∠A=90°，AB=AC，D是斜邊AB的中點，
∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，
∴∠1=∠B=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
在△BDE和△ADF中，

∠1=∠B AD=BD ∠2=∠4

，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF為等腰直角三角形；

（2）解：同理可證，△ADE≌△CDF，
所以，S_{四邊形AEDF}=S_△ADF+S_△ADE=S_△BDE+S_△CDF，
即S_{四邊形AEDF}=S_△BDE+S_△CDF；

（3）解：仍然成立．如圖，連接AD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點，
∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，
∵∠DAF=180°-∠1=180°-45°=135°，
∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，
∴∠DAF=∠DBE，
∵∠EDF=90°，
∴∠3+∠4=90°，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
在△BDE和△ADF中，

∠DAF=∠DBE AD=BD ∠2=∠4

，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF為等腰直角三角形．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形判定與性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．