Question

如圖，拋物線C：y=ax²+bx+3與x軸的兩個交點坐標為A（-3，0），B（-1，0）．
（Ⅰ）求拋物線C的解析式；
（Ⅱ）設拋物線C的頂點為M，直線y=-2x+9與y軸交于點E，交直線OM于點F．現(xiàn)保持拋物線C的形狀和開口方向，使頂點沿直線OM移動（O為坐標原點）．在平移過程中，當拋物線與射線EF（含端點E、F）只有一個公共點時，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍；
（Ⅲ）將拋物線平移，當頂點至原點時，過Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于M，N兩點．問在y軸的負半軸上是否存在點P，使△PMN的內心在y軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）拋物線y=ax²+bx+3經過A（-3，0），B（-1，0）兩點
∴9a-3b+3=0且a-b+3=0
解得a=1，b=4
∴拋物線的解析式為y=x²+4x+3

（Ⅱ）由（Ⅰ）配方得y=（x+2）²-1
∴拋物線的頂點M（-2，-1）
∴直線OM的解析式為y=x
于是設平移的拋物線的頂點坐標為（h，h），
∴平移的拋物線解析式為y=（x-h）²+h，．

①當拋物線經過點E時，
∵E（0，9），
∴h²+h=9，
解得．
∴當 時，
平移的拋物線與射線EF只有一個公共點．

②當拋物線與射線EF只有一個公共點時，
由方程組y=（x-h）²+h，y=-2x+9．
得 x²+（-2h+2）x+h²+h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+h-9）=0，
解得h=4．
此時拋物線y=（x-4）²+2與射線EF唯一的公共點為（3，3），符合題意．
綜上：平移的拋物線與射線EF只有一個公共點時，
頂點橫坐標的值或取值范圍是 h=4或 ．

（Ⅲ）將拋物線平移，當頂點至原點時，其解析式為y=x²，
設MN的解析式為y=kx+3（k≠0）．
假設存在滿足題設條件的點P（0，t），過P作GH∥x軸，分別過M，N作GH的垂線，垂足為G，H．
∵△PMN的內心在y軸上，
∴∠GMP=∠MPQ=∠QPN=∠HNP，
∴△GMP∽△HNP，
∴=，
∴==
∴2kx_E•x_F=（t-3）（x_E+x_F）
由y=x²，y=kx+3．得x²-kx-3=0．
∴x_E+x_F=k，x_E•x_F=-3．
∴2k（-3）=（t-3）k，
∵k≠0，
∴t=-3．
∴y軸的負半軸上存在點P（0，-3），使△PMN的內心在y軸上．
分析：（Ⅰ）將A（-3，0）、B（-1，0），代入y=ax²+bx+3求出即可，再利用平方法求出頂點坐標即可；
（Ⅱ）配方后即可確定其頂點坐標，然后利用平移規(guī)律確定函數(shù)的解析式，然后根據(jù)射線與拋物線有唯一的公共點求得h的值或取值范圍即可；
（Ⅲ）將拋物線平移，當頂點至原點時，其解析式為y=x²，設MN的解析式為y=kx+3（k≠0）．假設存在滿足題設條件的點P（0，t），過P作GH∥x軸，分別過M，N作GH的垂線，垂足為G，H．根據(jù)△PMN的內心在y軸上，得到∠GMP=∠MPQ=∠QPN=∠HNP，從而△GMP∽△HNP，利用相似三角形對應邊成比例即可列出有關t的方程求解即可．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的應用，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．