Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，點(diǎn)E為△ABC的內(nèi)心，連接AE并延長交⊙O于D點(diǎn)，連接BD并延長至F，使得BD=DF，連接CF、BE．

（1）求證：DB=DE；
（2）求證：直線CF為⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE
（2）證明：連接CD．

∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴ = ，
∴BD=CD，
∵BD=DF，
∴CD=DB=DF，
∴∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切線
【解析】（1）三角形的三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。根據(jù)三角形的內(nèi)心的定義可得∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，結(jié)合已知條件可證得∠DBE=∠DEB，由等角對(duì)等邊可得DB=DE。
（2）連接CD，要證CF是⊙O的切線，只須證∠BCF=90°，根據(jù)已知條件DA平分∠BAC可證BD=CD，結(jié)合已知BD=DF可得CD=DB=DF，則∠BCF=90°，結(jié)論可得。