Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在x軸的負半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，且OA=1，tan∠ACB=2，將矩形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形ODEF．點A的對應(yīng)點為點D，點B的對應(yīng)點為點E，點C的對應(yīng)點為點F，拋物線y=ax²+bx+2的圖象過點A，C，F(xiàn)．
（1）求拋物線所對應(yīng)函數(shù)的表達式；
（2）在邊DE上是否存在一點M，使得以O(shè)，D，M為頂點的三角形與△ODE相似，若存在，求出經(jīng)過M點的反比例函數(shù)的表達式，若不存在，請說明理由；
（3）在x軸的上方是否存在點P，Q，使以O(shè)，F(xiàn)，P，Q為頂點的平行四邊形的面積是矩形OABC面積的2倍，且點P在拋物線上，若存在，請求出P，Q兩點的坐標(biāo)；若不能存在，請說明理由；
（4）在拋物線的對稱軸上是否存在一點H，使得HA-HC的值最大，若存在，直接寫出點H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由OA=1，tan∠ACB=2可以得到點C坐標(biāo)，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出F點坐標(biāo)，通過待定系數(shù)法就可以求出拋物線的表達式了；
（2）若以O(shè)，D，M為頂點的三角形與△ODE相似，由于兩個三角形都為直角三角形，則還需一個角相等，從圖上位置可以判斷只有一種可能是∠DOM=∠DEO，利用對應(yīng)邊的比可以求出DM的長，從而得到點M坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)表達式就可以得出結(jié)果；
（3）求出矩形OABC面積就得出了以O(shè)，F(xiàn)，P，Q為頂點平行四邊形的面積，求出平行四邊形的高代入二次函數(shù)解析式中，可以得到點P的坐標(biāo)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)就能得出Q點的坐標(biāo)了；
（4）要使得HA-HC的值最大，根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知當(dāng)點H、A、C在同一直線上時，HA-HC的值最大，先求出直線AC的解析式，代入對稱軸x=$\frac{1}{2}$求出y的值，即為點H的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵矩形OABC，
∴BC=OA=1，OC=AB，∠B=90°，
∵tan∠ACB=2，
∴$\frac{AB}{BC}$=2
∴$\frac{OC}{AO}$=2，則OC=2，
∵將矩形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形ODEF，
∴OF=2，則有A（-1，0）C（0，2）F（2，0）
∵拋物線y=ax²+bx+2的圖象過點A，C，F(xiàn)，把點A、C、F坐標(biāo)代入
得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$∴解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴函數(shù)表達式為y=-x²+x+2，
（2）存在，當(dāng)∠DOM=∠DEO時，△DOM∽△DEO
∴此時有$\frac{DM}{DO}=\frac{DO}{DE}$  
∴DM²=$\frac{D{O}^{2}}{DE}$=$\frac{{1}^{2}}{2}=\frac{1}{2}$
∴點M坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，1），
設(shè)經(jīng)過點M的反比例函數(shù)表達式為y=$\frac{k}{x}$，把點M代入解得k=$\frac{1}{2}$
∴經(jīng)過M點的反比例函數(shù)的表達式為y=$\frac{1}{2x}$，
（3）存在符合條件的點P，Q．
∵S_矩形ABCD=2×1=2，
∴以O(shè)，F(xiàn)，P，Q為頂點平行四邊形的面積為4，
∵OF=2，
∴以O(shè)，F(xiàn)，P，Q為頂點平行四邊形的高為2，
∵點P在拋物線上，設(shè)點P坐標(biāo)為（m，2），
∴-m²+m+2=2，解得m₁=0，m₂=1，
∴點P坐標(biāo)為P₁（0，2），P₂（1，2）
∵以O(shè)，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，
∴PQ∥OF，PQ=OF=2．
∴當(dāng)點P坐標(biāo)為P₁（0，1）時，點Q的坐標(biāo)分別為Q₁（2，2），Q₂（-2，2）；
當(dāng)點P坐標(biāo)為P₂（1，2）時，點Q的坐標(biāo)分別為Q₃（3，2），Q₄（-1，2）；
（4）若使得HA-HC的值最大，則此時點A、C、H應(yīng)在同一直線上，
設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點A（-1，0），點C（0，2）代入得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴直線AC的函數(shù)解析式為y=2x+2，
∵拋物線函數(shù)表達式為y=-x²+x+2，
∴對稱軸為x=$\frac{1}{2}$
∴把x=$\frac{1}{2}$代入y=2x+2 解得y=3
∴點H的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，3）

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)、平行四邊形性質(zhì)及三角形三邊的關(guān)系，在（2）中關(guān)鍵是要找到相等的角來確認對應(yīng)邊，（3）中的要點是利用已知面積得出平行四邊形的高從而確定點坐標(biāo)，（4）的關(guān)鍵是對三角形三邊關(guān)系的熟悉及靈活運用．