Question

已知：如圖1，AB為⊙O的直徑，M是的中點(diǎn)，AM交BC于D，MD=1，DA=2．
（1）求證：△MBD∽△MAB；
（2）求∠A的度數(shù)；
（3）延長AB到E，使BE=BO，連接ME、MC，如圖2，試證明四邊形MCBE是平行四邊形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓周角定理由弧MC=弧MB得到∠MBC=∠MAB，根據(jù)相似三角形的判定即可得到△MBD∽△MAB；
（2）利用△MBD∽△MAB得到MB：MA=MD：MB，而MD=1，DA=2，可求出MB=，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠AMB=90°，利用三角函數(shù)可求出∠MBD=30°，則∠A=30°；
（3）連OM，由于M是的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論得到OD垂直平分BC，且BM=MC，又∠A=30°，則∠MOB=2∠A=60°，所以△MOB為等邊三角形，則OB=BM，∠OBD=30°，而∠C=∠A=30°，OB=BE，于是BE=MC，BE∥MC，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到結(jié)論．
解答：（1）證明：∵M(jìn)是的中點(diǎn)，即弧MC=弧MB，
∴∠MBC=∠MAB，
而∠BMD=∠AMB，
∴△MBD∽△MAB；

（2）解：∵△MBD∽△MAB，
∴MB：MA=MD：MB，
而MD=1，DA=2，
∴MB：3=1：MB，
∴MB=，
∵AB為直徑，
∴∠AMB=90°，
在Rt△MBD中，∵tan∠MBD==，
∴∠MBD=30°，
∴∠A=30°；

（3）證明：連OM，
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，
∴OD垂直平分BC，
∴BM=MC，
∵∠A=30°，
∴∠MOB=2∠A=60°，
∴△MOB為等邊三角形，
∴OB=BM，∠OBD=30°，
∴OB=BE，
而∠C=∠A=30°，
∴∠C=∠OBD=30°，
∴BE∥MC，
∴四邊形MCBE是平行四邊形．
點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、切線的判定定理和圓周角定理等是解決圓的綜合題的關(guān)鍵；運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理是解決幾何計(jì)算常用的方法；對于綜合題一般采用各個(gè)擊破的方式解決．