已知:如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,DE⊥AC于點(diǎn)F,交AB的延長線于點(diǎn)E,且AE=AC.(1)試說明:△ABF是等腰三角形;
(2)若AD=DC,試說明:AC=2AB.
分析:(1)根據(jù)AAS證出△ABC≌△AFE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可;
(2)因為AC⊥DE,若AD=DC,則可證明DE是AC的垂直平分線,即F是AC的中點(diǎn),因為三角形ABC是直角三角形,再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證明.
解答:(1)證明:∵∠ABC=90°,DE⊥AC,
∴∠ABC=∠AFE=90°,
在△ABC和△AFE中
∠BAC=∠FAE
∠ABC=∠AFE
AC=AE

∴△ABC≌△AFE(AAS),
∴AB=AF,
∴△ABF是等腰三角形;

(2)∵DE⊥AC于點(diǎn)F,AD=DC,
∴DE是AC的垂直平分線,
∴F是AC的中點(diǎn),
∵∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形,
∴BF=
1
2
AC,
∵AB=AF,
∴AC=2AB
點(diǎn)評:本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
練習(xí)冊系列答案
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39、已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB=DC,AD=BC,點(diǎn)E在BC上,點(diǎn)F在AD上,AF=CE,EF與對角線BD相交于點(diǎn)O.求證:O是BD的中點(diǎn).

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請設(shè)計兩種不同的分法,將四邊形ABCD分割成四個三角形,使得分割成的每個三角形都是等腰三角形.畫法要求如下:
(1)兩種分法只要有一條分割線段位置不同,就認(rèn)為是兩種不同的分法;
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(3)標(biāo)出能夠說明不同分法所得三角形的內(nèi)角度數(shù),例如樣圖;
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精英家教網(wǎng)已知:如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2
(1)求證:AB=BC;
(2)當(dāng)BE⊥AD于E時,試證明:BE=AE+CD.

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已知:如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn),AD、BC的延長線交MN于E、F.
求證:∠DEN=∠F.

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