Question

2．如圖，△ACB與△ADE都是等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，∠CDF=45°，DF交BE于F，求證：∠CFD=90°．

Answer 1

分析 如圖作CM⊥CD交DF的延長線于M，連接BM，先證明△ACD≌△BCM得BM=AD=ED，再證明△EDF≌△BMF得DF=FM，利用三線合一即可證明．

解答 證明：如圖作CM⊥CD交DF的延長線于M，連接BM．
∵∠DCM=90°，∠CDM=45°，
∴∠CMD=90°-∠CDM=45°，
∴∠CDM=∠CMD=45°，
∴CD=CM，
∵∠ACB=∠DCM=90°，
∴∠ACD=∠MCB，
在△ACD和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠ACD=∠BCM}\\{CD=CM}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCM，
∴AD=BM=ED，∠ADC=∠CMB，
∵∠BMF=∠CMB-∠CMD=∠CMB-45°，∠EDF=∠ADF-∠ADE=∠ADC+∠CDF-∠ADE=∠ADC-45°，
∴∠EDF=∠BMF，
在△EDF和△BMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠BMF}\\{∠EFD=∠MFB}\\{ED=BM}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△BMF，
∴DF=FM，
∵CD=CM，
∴CF⊥DM，
∴∠CFD=90°．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，這里證明∠EDF=∠BMF有點難度，利用角的和差進行證明．