Question

已知二次函數(shù)y=x²-2（m-1）x+2m²-2
（1）證明：不論m為何值，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)均在某一函數(shù)圖象上，并求出此圖象的函數(shù)解析式；
（2）若二次函數(shù)圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2

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，求出此二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，而其頂點(diǎn)坐標(biāo)為新函數(shù)上任意一點(diǎn)，即橫坐標(biāo)為x=m-1，縱坐標(biāo)為y=m²+2m-3，整理即可得到所求函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積與兩根之和的表達(dá)式，再將|x₂-x₁|=2

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兩邊平方，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程，解答即可．

解答：解：（1）二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m-1，m²+2m-3），
頂點(diǎn)坐標(biāo)在某一函數(shù)的圖象上，
即橫坐標(biāo)為x=m-1，
縱坐標(biāo)為y=m²+2m-3=（m-1）（m+3）=（m-1）（m-1+4）=x（x+4）=y=x²+4x，
故不論m為何值，二次函數(shù)的頂點(diǎn)都在拋物線y=x²+4x上；（4分）

（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），
由已知|x₂-x₁|=2

3

，
再利用根與系數(shù)的關(guān)系得，

x1+x2=2(m-1) x1x2=2m2-2

，
又∵（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，
∴12=4（m-1）²-4（2m²-2），
m=0或-2，（10分）
當(dāng)m=0時(shí)，y=x²+2x-2；
當(dāng)m=-2時(shí)，y=x²+6x+6．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)及二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，要求同學(xué)們有較強(qiáng)的分析能力．