Question

15．如圖，△ABC的兩條高BD，CE交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CE到Q，使CQ=AB，在BD上截取BP=AC，連接AP．
求證：（1）AQ=AP；（2）AQ⊥AP．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直的定義得到∠ADB=∠AEC=90°，得到∠ABD=∠ACQ=90°-∠BAC．推出△APB≌△QAC（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）通過(guò)△APB≌△QAC，得∠BAP=∠CQA，通過(guò)等量代換得∠BAP+∠QAE=90°即可得AP⊥AQ．

解答 證明：（1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABD=∠ACQ=90°-∠BAC．
∵BP=AC，CQ=AB，
在△APB和△QAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=AC}\\{∠ABD=∠ACQ}\\{CQ=AB}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△QAC（SAS），
∴AP=AQ，

（2）∵△APB≌△QAC，
∴∠BAP=∠CQA，
∵∠CQA+∠QAE=90°，
∴∠BAP+∠QAE=90°．
即AP⊥AQ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂直定義，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△APB≌△QAC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．