【題目】拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,已知拋物線的對(duì)稱軸為x=1,B(3,0),C(0,-3),
(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式;
(2)在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之差最大?若存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)平行于x軸的一條直線交拋物線于M,N兩點(diǎn),若以MN為直徑的圓恰好與x軸相切,求此圓的半徑.
【答案】(1)y=x2-2x-3;(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)(1,-6).(3)或
【解析】試題分析:(1)將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,聯(lián)立拋物線的對(duì)稱軸方程,即可求得該拋物線的解析式.(2)由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,若P到B、C的距離差最大,那么P點(diǎn)必為直線AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn),可先求出直線AC的解析式,聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸方程,即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).(3) 根據(jù)拋物線和圓的對(duì)稱性,知圓心必在拋物線的對(duì)稱軸上,由于該圓與x軸相切,可用圓的半徑表示出M、N的坐標(biāo),將其入拋物線的解析式中,即可求出圓的半徑;(需注意的是圓心可能在軸上方,也可能在軸下方,需要分類討論)
試題解析:
(1)將C(0,-3)代入y=ax2+bx+c,得 c=3.
將c=3,B(3,0)代入y=ax2+bx+c,得 .∵是對(duì)稱軸,∴
將(2)代入(1)得:, .所以,二次函數(shù)得解析式是.
(2)AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)P即為到B、C的距離之差最大的點(diǎn).
∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-3),A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0),
∴ 直線AC的解析式是,又對(duì)稱軸為,∴ 點(diǎn)P的坐標(biāo)(1,-6).
(3)設(shè),所求圓的半徑為r,則 ,
∵ 對(duì)稱軸為, ∴.由(1)、(2)得:.
將代入解析式,得 ,
整理得: .由于當(dāng)時(shí),,
解得,, (舍去),
當(dāng)時(shí),,解得, , (舍去).
所以圓的半徑是或.
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(2)將△ABC繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B2C2,畫出△A2B2C2,并寫出點(diǎn)A2、B2、C2的坐標(biāo);
(3)求出(2)中C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C2點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)(記過保留根號(hào)和π).
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