Question

設(shè)S由1，2，3…，50中的若干個數(shù)組成的一個數(shù)集（數(shù)的集合），S中任兩數(shù)之和不能被7整除，試問S中最多能由1，2，3，…50中的幾個數(shù)組成（S中含數(shù)的個數(shù)最大值）？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：將1，2，3，50這50個數(shù)，按被7除其余數(shù)分成七個不同的數(shù)集F₀，F(xiàn)₁，…F₆，然后分別討論S能包含各個數(shù)集中數(shù)的最大數(shù)量，從而可得出S最多能包含的數(shù)．

解答：證明：將1，2，3，50這50個數(shù)，按被7除其余數(shù)分成七個不同的數(shù)集F₀，F(xiàn)₁，…F₆；
F₀由7，14，21，49組成（被7整除）；
F₁由1，8，15，，50組成（被7除余1）；
F₆由6，13，20，48組成（被7除余6）；
S中最多包含F(xiàn)₀中的一個數(shù)，因F₀中任兩數(shù)和都能被7整除，
又S能分別包含F(xiàn)₁，F(xiàn)₂，F(xiàn)₆中所有的數(shù)，但由S中任兩數(shù)和不能被7整除，
故S不能同時包含F(xiàn)₁和F₆，F(xiàn)₂或F₅，F(xiàn)₅或F₃和F₄中的數(shù)，
因此，S中最多包含F(xiàn)₀中1個數(shù)，F(xiàn)₁中8個數(shù)，F(xiàn)₂或F₅，F(xiàn)₃或F₄中的7個數(shù)．
故S中最多包含1+8+7+7=23個數(shù)．

點評：本題考查數(shù)的整除性的知識，難度較大，將所有的數(shù)分組是本題的妙筆，注意掌握此思想的運用方法．